img203 (2)

Rachunek prawdopodobieństwa

118

Kombinacje

Zastanówmy się teraz, na ile sposobów można wylosować trzy karty z talii 52 kart.

Aby to obliczyć, najpierw rozważmy istotę kolejności otrzymanej trójki kart. Wydaje się oczywiste, że tym razem kolejność nie jest ważna. Nie ma bowiem różnicy, czy gracz otrzymał najpierw asa pik, potem damę karo, a na końcu czwórkę kier czy też najpierw damę karo, potem czwórkę kier na końcu asa pik. Przecież tak ma w ręku te same trzy karty.

Jak widać, teraz do opisu takiego losowania nie możemy już używać ciągów, bo kolejność wyrazów nie jest istotna. Możemy natomiast na wylosowaną trójkę kart spojrzeć jak na trzyelementowy podzbiór zbioru 52 kart. W takim ujęciu mamy:

{as pik, dama karo, czwórka kier} = {dama karo, czwórka kier as pik},

a więc zapis dobrze oddaje bardzo tu istotny fakt, że kolejność wylosowanej trójki kart nie jest ważna.

Zastanówmy się, ile jest sposobów wylosowania trójki kart z całej talii. Punktem wyjścia jest zbiór 52-elementowy. Tworzymy podzbiory trzyelementowe. Załóżmy, że jest x sposobów utworzenia takiego podzbioru. Z elementów takiego podzbioru możemy utworzyć trójwyrazowe ciągi - jest P₃ = 3! takich ciągów. W rezultacie powyższej konstrukcji tworzymy ze zbioru 52-elementowego ciągi trójwyrazowe. To jest

^    52*    52l

możliwe na Vg₂ = sposobów. Musi więc zachodzić równość x 3! = -^gj, skąd

otrzymujemy

52!

49! 3!

22100.

x =

Jest 22100 sposobów wylosowania trzech różnych kart z talii 52 kart.

Przejdźmy teraz do sytuacji ogólnej. Będziemy tworzyli k-elementowe podzbiory pewnego zbioru n-elementowego (elementy tego podzbioru nie mogą się powtarzać)

DEFINICJA 4.

Kombinacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego, k, neN i k < n,

nazywamy każdy k-elementowy podzbiór tego zbioru, przy czym elementy tego podzbioru nie mogą się powtarzać.