mat
3

60 I. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

/

/

yi or=argf'(z₀)

Rys. 1.5.5

Na rysunku 1.5.5 zilustrowano tw. 1.

Wniosek. Odwzorowanie obszaru za pomocą funkcji holomorficznej i różnowartościowej jest konforemne.

Inwersja odwzorowuje konforemnie C — C.

Złożenie dwóch odwzorowań konforemnych obszaru jest odwzorowaniem konforemnym tego obszaru.

Jeżeli spełnione są założenia tw. 1, to odwzorowanie : D_x —~    jest konforemne.

Odwzorowanie pierwszego stopnia

z^w = az+b dla z 6 C, a, b e C, a ^ 0    (1.5.3)

(w (oo) = oo) jest złożeniem:

jednokladności o środku O: Wi = \a\ z obrotu o kąt arg a wokół O: w₂ — e^a"“ Wj

oraz

przesunięcia o wektor [b, 0]: w = w₂ + b

Odwzorowanie (1.5.3) jest różnowartościowe na płaszczyźnie domkniętej C i przekształca ją konforemnie na C. Odwzorowanie odwrotne do (1.5.3) jest także odwzorowaniem pierwszego stopnia.

Homografia. Odwzorowanie z-*- w = H(z), gdzie

—    , a b\

DH = C, a, b, c, d s C i A =    ]    0

c d_t

(1.5.4)

nazywamy homografią. Jeżeli c = 0, to homografia jest odwzorowaniem pierwszego stopnia. Jeżeli c # 0, to homografię (1.5.4) nazywamy właściwą; wówczas

c c cz+d

więc homografia właściwa jest złożeniem odwzorowania pierwszego stopnia w_t = cz + d, inwersji w₂ = — oraz ponownie odwzorowania pierwszego stopnia

A    a

w —--w₂ + —

c

c

Złożenie dwóch homografii jest homografią (składanie nie jest przemienne). Homografia jest różno wartościowa i przekształca konforemnie C na C. Odwzorowanie H~^l jest także homografią.

Twierdzenie 2. Dla każdych różnych punktów z_t, z₂, z₃ e C istnieje dokładnie jedna ho-l/rafia H taka, że H (zj) = 0, H(z₂) = oo oraz H (z₃) = 1, przy czym

(1.5.5)

H (z) =    • -?-³—'^Z-Ł-

z-z₂ Z₃-Z,

Twierdzenie 3. Dla każdych różnych punktów z_u z₂, z₃e C i dla każdych różnych punk-tśw tv₁₍ w₂, Ws e C istnieje dokładnie jedna homografia H taka, że H (z*) = w_t, dla k = 1, 2, 3, pty czym

• ^h'³~^w'² =    • ^Z3~^Z2.    (h- = H(z))    (1.5.6)

W — W₂    W₃ — Wi    Z — Z₂    Z₃— Zj

Prostą na płaszczyźnie C uzupełnioną punktem oo nazywamy okręgiem niewłaściwym.

Twierdzenie 4. Każda homografia H odwzorowuje okrąg L (być może niewłaściwy) na okrąg hi może niewłaściwy), przy czym obrazy punktów symetrycznych względem L są punktami syme-ttc.nymi względem H (L).

|p-^z4M<7-^|=r² ar9(ę~z₀)-<żrg(p—z₀)

Rys. 1.5.6

Na rysunku 1.5.6 zilustrowano pojęcie punktów symetrycznych względem okręgu (z₀ i oo tą także punktami symetrycznymi względem okręgu |z—z₀| = r).

Twierdzenie 5. Dwuparametrowa rodzina homografii z—z₀

w = e“

z—za

gdzie 6 € R, z₀ e C i Im z₀ > 0

(1.5.7)

:cdstawia wszystkie i tylko te homografie, które odwzorowują pólplaszczyznę {ze C: Im z > 0} i kolo |h>| < 1.

Twierdzenie 6. Dwuparametrowa rodzina homografii z—z₀

w = e"

gdzie Os R, z₀ e C i |z₀| < 1

(1.5.8)

z₀ z— 1

pnedstawia wszystkie i tylko te homografie, które odwzorowują kolo |z| < 1 na kolo |v*>| < 1.

Odwzorowanie z -* w = e* jest różno wartościowe na każdym obszarze (pasie) {zeC: • •: Imz< a+2it A a 6 R} i przekształca go konforemnie na obszar (C — {0})—(we C: 0 < •: |w| < + oo a Arg w — a).

Rys. 1.5.7