mat
9

72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

Odwzorowanie w₃ = w* przekształca ten sektor na górną półpłaszczyznę. Ponieważ Wi(0) = — 1, a ponadto

72 1. WIADOMOŚCI TEORETYCZNE. ZADANIA. PRZYKŁADY ROZWIĄZAŃ

w₂(-1) =

yj2 . y/2

+ i-

oraz

więc należy jeszcze dokonać przesunięcia w = w₃ +1. Szukane odwzorowanie wyznaczamy następująco

-^l-(S0⁴

w = w₃ + l = h>2+1 = e~'Vf + l

Ostatecznie

w =

8/z (z² — 1)

(z+0⁴

Odwzorowanie to jest konforemne, bo takie jest każde z czterech odwzorowań składowych. Odwzorowanie obszaru 5 na górną półpłaszczyznę zilustrowano na-rys. 1.5.15.

Uwaga. Homografia (1.5.23) ma w punkcie z — i pochodną

dz

21

(*+ O²

więc arg — ' (i) = —    . Zgodnie z interpretacją geometryczną argumentu pochodnej f'(z₀)

dz    2

przedstawioną na rys. 1.5.5, wektor styczny do okręgu |z — 11 = V2 w punkcie A (patrz rys. 1.5.15) i wektor AB doznają — po odwzorowaniu ich wspólnego początku A w punkt 0 — jednakowego

obrotu o kąt |. Na skutek tego kąt między tymi wektorami ^    nie zmienia się, co

jest cechą charakterystyczną odwzorowań konforemnych. Obrazy powyższych dwóch wektorów wyznaczają półproste ograniczające obszar Sj.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

6.    Odwzorować linię L = {zeC: \z\ = 2 |z+2|} za pomocą inwersji.

(1.5.24)

7.    Odwzorować półpłaszczyznę {z e C: Im z > 0} za pomocą funkcji z—i

w =

z+i

Wyznaczyć obraz prostej Im z = lw tym odwzorowaniu. Zilustrować to odwzorowanie na rysunku.

8. Odwzorować obszar D = {zeC: —jr < Rez < 7ta0 < Imz < 1} za pomocą funkcji

w = sm z

(1.5.25)

Wyznaczyć obraz punktu ~ i w tym odwzorowaniu. Rozwiązanie zilustrować

rysunkiem.

9. Odwzorować obszar

°)

H

_    71    _    71 _T

ze C: — < Re z < -- a Im z >

(1.5.26)

i pomocą funkcji z -* w — cos z

10.    Odwzorować konforemnie obszar

D = jz e C: 0 < Re z < y

i koło |w| < 1 bez odcinka o końcach —1 i 0.

11.    Odwzorować konforemnie obszar

O = (zeC: |z| > 1} — {ze C: Re z < — 1 Alm z = 0} iw półpłaszczyznę {w e C: Re w > 0} oraz zilustrować to odwzorowanie na rysunku.

12.    Wyznaczyć homografię H, która:

1° przekształca okrąg |z| = 1 na okrąg |w+l| = 1,

2° przekształca punkt 0 w punkt — ~,

3° przekształca punkt 1 w punkt 0.

• ilustrować to odwzorowanie na rysunku.

13.    Wyznaczyć taką homografię H, która spełnia trzy warunki: H(1) = 0, 'I (2) = oo, H (3) = 1. Odwzorować za pomocą tej homografii prostą L\z — -(!+/)/, — oo < t < +oo. Narysować linię H (L).

14. Wyznaczyć homografię H, która przekształca punkt 1 na punkt 3, punkt 2 icn sam punkt oraz punkt 3 na punkt 1. Zilustrować to odwzorowanie na rysun-* i Wyznaczyć i narysować obraz okręgu |z| = 1 w tym odwzorowaniu.

15. Odwzorować konforemnie koło |z| < 1 na koło |w| < 2 tak, żeby obrali mi punktów 0 i y były odpowiednio punkty 1 i 0. Wyznaczyć i narysować obraz • ręgu 2 |z| = 1 w tym odwzorowaniu    r

lV;

1.6. Ciągi    , ii

>    I - i

Ciągi    6-

Funkcję/: N ■

« ** 1, 2.....to ci    2.

n-tym wyrazem t< _{n n} \l\

e^>Ł-

2^\

Z^l -    , v

At,