liczby119

liczba n

119

liczba, w pierwotnym znaczeniu wspólna własność zbiorów skończonych mających tyle samo elementów. Wyodrębnienie takiej wspólnej własności zbiorów jcdnoelementowych, zbiorów dwuelementowych itd. doprowadziło do określenia pojęcia -* liczb naturalnych. Tak rozumiane 1. służą do liczenia przedmiotów. Potrzeba wyrażenia za pomocą 1. takich wielkości, jak długość, ciężar, objętość, pole powierzchni, masa spowodowała rozszerzenie pojęcia 1. i wprowadzenia -> liczb wymiernych (po raz pierwszy w Egipcie w XVII w. p. n. e.), a następnie -* liczb niewymiernych (matematycy gr., uczniowie Pitagorasa, VI w. p. n. e.). Próby rozwiązywania równań algebraicznych doprowadziły w XVI w. (matematyk wł. G. Cardano) do wprowadzenia -> liczb ujemnych, a także do pierwszego w historii matematyki zastosowania -> liczb zespolonych. Wytyczona została w ten sposób droga do ostatecznego opracowania teorii liczb rzeczywistych oraz 1. zespolonych. Szczegółową teorię 1. rzeczywistych opracowali w XIX w. matematycy niem. G. Cantor i J. W. R. Dedekind; teoria 1. zespolonych została ugruntowana przez matematyka niem. C. F. Gaussa, który podał geometryczną interpretację tych 1. jako punktów płaszczyzny.

S. KULCZYCKI Opowieści z dziejów liczb. Warszawa 1976. W. SIERPIŃSKI Arytmetyku teoretyczna. Warszawa 1969.

liczba e, liczba *Nepera, liczba będąca granicą ciągu liczbowego nieskończonego

e= lim (1 + -); e= 2,718281828... Oznaczenie

n-* nr ' ^n/

jej wprowadził w 1736 matematyk szwajc. L. Euler, przybliżoną wartość obliczył w 1728 matematyk szwajc. D. Bernoulli. L. e jest liczbą niewymierną, a nawet przestępną (dowód prze-stępności 1. e podał w 1873 matematyk franc. Ch. Hermite). L. e jest również sumą szeregu

a:    *

e= Y Ma ona duże zastosowanie w matc-

~„ n!

n = 0

matyce; jest podstawą logarytmu naturalnego, lnx= log^, oraz podstawą funkcji wykładni-

czej e* = lim (l+^) = £

n — a. '    '    —« ‘

/i =0

liczba K,ludolfina, stała matematyczna określona jako stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy; ti = 3,14159... Symbol n został wprowadzony w 1706 przez matematyka ang. W. Jonesa i spopularyzowany w połowie XVIII w. przez matematyka szwajc. L. Eulera. L. k jest niewymierna i przestępna. Interesująca jest jej historia. Babilończycy (ok. 2000 p.n.c.) szacowali 1. ti jako równą 3, Egipcjanie (ok. 2000

p.n.c.) przyjmowali    , Archimedes (III

*Neper John [n. dżon], J. Mapier.

ur. 1550, zm. 1617, matematyk szkoc.; dążąc do uproszczenia skomplikowanych sposobów obliczeń w astronomii i geodezji, wprowadził loga-rytmy i opublikował ich tablice.

*Ceulen Ludolf van [koleń 1. fan], ur. 1540, zm 1610. matematyk hol; obliczył wartość liczby n najpierw z dokładnością do 20. a później do 35 cyfr po przecinku.

liczba algebraiczna, liczba rzeczywista lub zespolona, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Ponieważ zbiór wielomianów o współczynnikach całkowitych jest przeliczalny i zbiór pierwiastków każdego wielomianu jest skończony, więc zbiór 1. a. jest przeliczalny (w 1886 udowodnił to matematyk niem. G. Cantor). Inaczej mówiąc, wszystkie 1. a. można ustawić w ciąg. Z nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych (lub zespolonych) wynika nic tylko istnienie liczb rzeczywistych (lub zespolonych) niealge-braicznych, zw. -*■ liczbami przestępnymi, ale też to, że istnieje ich nieprzeliczalnie wiele; mimo to konstrukcja liczb nicalgebraicznych lub sprawdzenie, że dana liczba rzeczywista (np. liczba n lub liczba e) nie jest 1. a., jest .trudne. L. a. tworzą ciało, tzn. suma, różnica, iloczyn i iloraz, z wyłączeniem dzielenia przez 0 dwóch 1. a., są 1. a. Jest to ponadto ciało algebraiczne zamknięte, tzn. pierwiastki niczerowych wielomianów, których współczynnikami są 1. a., są także 1. a. Przykładami 1. a. są: 1) liczby wymierne jako rozwiązania równań liniowych o współczynnikach całkowitych, 2) pierwiastki dowolnych stopni z liczb wymiernych; 3) liczba zespolona i jako pierwiastek równania algebraicznego x² +1 = = 0; 4) liczby zespolone wymierne, tzn. liczby zespolone a + bi_y gdzie a, b są liczbami wymiernymi.

A. MOSTOWSKI. M. STARK Elementy algebry wyższej. Warszawa 1977. W. NARKIEWICZ Elementy algebraicznej teorii liczb. Warszawa 1972.

w. p.n.e.) ustalił n jako równą w przybliżeniu ,

(3^ < k < 3*^), matematyk gr. Ptolemeusz Klaudiusz (II w. n.e.) przyjmował n & 34*    +

OU

30

4-——, hinduski matematyk i astronom Bha-

3600    ^J

754

skara (XII w.) tc % —arab. matematyk i astro-

»v

nom AJchwarizmi (IX w.) n % ./lO, zaś matematyk chiń. Cu Cz.ung-czy (V w.) oraz hol. matematyk i astronom A. Metius (XVI w.)

n « (przybliżenie z dokładnością do sześciu

1 I

miejsc po przecinku). Obliczenie wartości 1. n umożliwia następujący wzór Leibniza:

CC

y (-i)^n_1    ₌ 1 _i+ł—¹ + ¹_

’ 2n — 1    3    5    7    9

n- 1

Nazwa „ludolfina*' pochodzi od imienia matematyka hol. Ludolfa van *Ceulena, który w 1610 wyznaczył przybliżenie 1. n z dokładnością

There arevarious other waysoffinding the Lengtbs, or Arevs of particular Curve Lines, or PUnes_t which may very much facilitate che Praćtice j as for Iaftance, in the Cir'elc_t the Dłamecer is to Circumference as 1 co

ll__i_    i«    4    , , 4 _ ^    _

5    239 ^T    5*    239*    * 5* 239¹

3*i4<S9» ©*•    This    Ter/>x(among others for    the

famę purpofe, and drawn from the famę Priociple) I re-cciv*d firom che Escellenc Analyft, and my much E-fteem’d Friend Mr. John {Machin \ ar.d by mcans there-of, Van Cenieni Number, or rhac in Art. 64.38. may be Examifi’d with all defircable Eafe and Difpatcb.

Fragment strony z Synopsis Palma-riorum Matheseos (1706) W. Jonesa. W książce tej Jones wprowadzi! obecnie stosowane oznaczenie liczby k.