P1040787

)

całego popytu na jego buty , Oblicz wartość oczekiwani! zysku, jaki ma len producent na jednej parze.

9.    Gra polega na rzucie dwoma symetrycznymi kostkami sześciennymi. Jeśli iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą przegrywamy tyle zl, ile wynosi wartość iloczynu Jeśli zaś iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą wygrywamy k-krotną wartość iloczynu. Dla jakiej wartości keN gracz uzyska dodatnią wygraną?

10.    .Zmienna losowa ma rozkład trójkąta równoramiennego o podstawie [a,3ą], gdzie a>0. Znaleźć gęstość f(x) tego rozkładu (opisać analitycznie) oraz dystrybuantę F(x) Narysować wykres dystrybuanly F(x), obliczyć prawdopodobieństwo P(X<I 5a) oraz podać jego interpretację na wykresie funkcji gęstości i dystrybuanty.

11. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa określony funkcją gęstości:

/<*)■

l«(x-l) dla x 611,21

|    0 dla X e[l,2]

b)

/(*)>

dla

dla

x>0

ISO

C)

/(*)” —

Znaleźć stalą a, dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X. Obliczyć P(X>1), P(1 <X<2), P(X<1) oraz zinterpretować te prawdopodobieństwa na wykresie gęstości i dystrybuanty.

12. Pociągi elektryczne przyjeżdżają na stację dokładnie co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnym przypadkowym momencie czasu. Niech X oznacza czas oczekiwania na przybycie pociągu. Określić rozkład zmiennej losowej X, znaleźć jej gęstość ffx), dystrybuantę F(x). Obliczyć P(X<8).

13. Pokazać, że funkcje

	/(*) =	1
a)		•j2xo
		a'
	/<*)-	T{p)
b)		0

(*-«)-

(rozkład normalny N(m,o))

; p>l, a>0 (rozkład gamma)

_{; x} > 0 xS0

spełniają założenia funkcji gęstości.

14. Zmienna losowa ma rozkład prawdopodobieństwa postaci:

X	-3	-1	3	5
Px	0 1	02	E_	0.2

Wyznacz: a)stalą „p”

b)dystrybuantę zmiennej losowej X i narysuj jej wykres

15. Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

X	-2	-1	2	5
PX	3.3	0.1	3.2	E_

Wyznacz ajslalą „p”

bjdyslrybuantę zmiennej losowej X i narysuj jej wykres, cjrozklad zmiennej losowej y -2X-3

16 W powyższych zadaniach znajdź wartość oczekiwana. medianę. modę i wariancję zmiennej losowej X.

17.    . Oblicz wartości oczekiwane rozkładów dwupunktowcgo. Bernouliego, Poissona. wykładniczego i laplacca

18.    Zmienna losowa ma rozkład prawdopodobieństwa postaci

X	-3	-1	3	S
P«	9.1	02	3.5	0.2

Wyznacz:

a)    Dystrybuantę zmiennej losowej X

b)    Wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej X

19. Dany jest rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X:

X	-2	-1	2	S
	93	0 1	92	0.4

Wyznaczyć dwoma sposobami wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y = 2X-3

a)    znajdując najpierw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y,

b)    znajdując wartość oczekiwaną E(X) i wariancję D*(X). a następnie korzy stając z odpowiednich twierdzeń dla wartości oczekiwanej i wariancji

20 Wyznaczyć rozkład dwupunktowy zmiennej losowej X wiedząc, ze s, <X; oraz P(X«x,) -0 2. E(X)-3. D'(X) - 4

21. Obliczyć stalą C, dystrybuantę oraz wartość oczekiwaną i wariancję modę i medianę zmiennej losowej o gęstościach:

»)

[C(2* -x'-) dla x e [02 J [    0 dla    x c / 0.2 ]

b) f(x) =

JCrfl-* )dla x • (0.\) |    0 dla x t (0,\)

4