P4130295

Twierdzenie 3.7

I Niech C będzie podzbiorem domkniętym osi rzeczywistej. Jeśli F jest I odwzorowaniem zwężającym zbioru C w siebie, to F ma jedyny punkt I stały. Ponadto, ten punkt stały jest granicą każdego ciągu ^generowanego wzorem x_n+i = F(x_n) z dowolnym x_Q e C.

mVAVL*l*M_m

fXn —    «\F(Xn-1) — f"(X|j_2}| ^ A|Xj»_t — X_n_2|-

|Korzystając z powyższego możemy udowodnić (indukcja) nierówność jx„-x_n_₁|< -xb|

iPonieważ

X„ = Xo + {Xi -xb) + (x₂-x₁) + -- +(x_n-x^_₁),

■

ko ciąg {x_n} jest zbieżny <*=» gdy jest zbieżny szereg ^(x_n-x^_i).

onieważ £/|x„ - x_/J_₁| < £ Xⁿ 1|xj - Xo| = j—^|Xi - x₀|, SI n=1    n=1