Układy równań liniowych2

94 Układy równań liniowych

do ustalonego wiersza (kolumny) dodać inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez stalą. Ponadto rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli skreślimy w niej wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer lub też jeden z dwóch wierszy (kolumn) równych lub proporcjonalnych. Również transponowanie macierzy nie wpływa na jej rząd. Badaną macierz będziemy więc przekształcać bez zmiany jej rzędu do postaci, z której ten rząd można łatwo odczytać, np. z postaci trójkątnej lub blokowej, z dużą liczbą zer oraz jak najmniejszego wymiaru, a) W tym przypadku zastosujemy fragment algorytmu Gaussa otrzymując:

' 1 3 0'		' 1 3 0 ‘
4 5 7 1    -1 4 2    4 2	Uijj ~%iói = rz “4 - 2»u	0-7 7 0-4 4 0-2 2

Zauważmy, że wynik uzyskaliśmy szybciej doprowadzając pierwszy wiersz do postaci [1 0 Oj przez wykonanie operacji ki — 3fci.

b) Wykorzystamy prawidłowość w ułożeniu elementów macierzy. Łatwo zauważyć, że wiersze macierzy złożone są z kolejnych liczb naturalnych, przy czym w wierszach nieparzystych tworzą one ciągi rosnące, a w parzystych malejące. Dlatego też sumy sąsiednich wierszy są ciągami stałymi. Dzięki temu można szybko obliczyć, że

rz

- 2 3 4 5 6 7'		-234567'
8 7 6 5 4 3	H j§jg	10 10 10 10 10 10
	u-" 4- łc> — rz
12 13 14 15 16 17	a-o -f ti.*!	20 20 20 20 20 20
.18 17 16 15 14 13.		. 30 30 30 30 30 30 .

2 'jjj 4    5    6    7

10 10 10 10 10 10

• Przykład 4.7

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:

						1	2	4'
3	1	2	-1	7"		1	A	c
0	1	0	2	1			4	O
3	2	2	1	8	; b)	-1 2	2 2	-2 7
0	1	1	5	4		0	2	4
-3	-1	-1	4	2		-1	-4	4

Rozwiązanie

Macierz nazywamy schodkową, gdy pierwsze niezerowe elementy (tzw. schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, o onując podanych niżej operacji elementarnych na wierszach macierzy otrzymał y

a)

	‘12 4 1		r i 2	41
	0 2 1 0 0 0		“Ó]2 0 0|	1 0
rz	0 0 0		0 0	0
	0 0 3 0 0 9		1 o o o o	3 0

• Przykład 4.8

Wyznaczyć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:

■ 1	P	1'		p	1	1		i-p	2	1	P
3	0	2	; b)	2	2 p-1		; c)	i	to 1 •o	1	0
_P	-p	1		_p + 2	3	P		i	2	1 ~P P.

= 2p(p — 2).

a)

	' 3	1	2	-1 7
	0	1	0	2 1
rz	3	2	2	1 8
	0	1	1	5 4
	-3	-1	-1	4 2

Rozwiązanie

^a) Minorem najwyższego stopnia dla danej macierzy jest jej wyznacznik równy 1 p 1

3    0    2

P -P 1

j*^z4d tej macierzy jest więc równy 3 wtedy, gdy 2p(p - 2) # 0, tzn. dla p jk 0 i p ■£ 2. Dla p = 0 mamy

'1    p    1    "

rz    3    0    2

p    -p    1    .

'10 11			■ i ifi
3 0 2	*25 0	= rz	3 2
Lo 0 1			.01.

b)

3 1 2	-1 71
0 1 0	2 1
0 1 0	2 1
0 1 1		W4 -,W2 •
	5 4
0 0 1	3 9

- rz

3	1	2	-1	7
0	1	0	2	1
0	0	0	0	0
0	0	1	3	3
0	0	1	3	9

rz

3 12-17 "O] 1    O    2    1

O “Oj    O    0    0

0 0    1    3    3

O Ol    0|_6_

= 4.

= 2.