0244

246

XI. Szeregi nieskończone o wyrazach stałych

Sumując je od k = 1 do k = n otrzymamy ogólny wyraz pewnego ciągu rosnącego lecz ograniczonego

J/(A:)-[F(n + l)-F(l)] </(l)-/(n + l) </(l),

k-1

który dąży do granicy skończonej. To samo jest prawdą także i dla ciągu

]T/(*)-f(_W+i).

*-=i

Jeżeli przez C oznaczymy granicę tego ciągu, a przez a„ różnicę między n-tym wyrazem ciągu a tą granicą, to otrzymamy wzór

^T/(*) = F(n + l)+C+a_B,

*-i

gdzie a„ -> 0. Na przykład dla f(x) — l/x, F(x) = ln x otrzymujemy stąd znowu wzór (4) z ustępu 367.

374. Kryterium Jermakowa. Mniej więcej taki sam zasięg zastosowań co kryterium całkowe ma bardzo swoiste kryterium podane przez W.P. Jermakowa. Do jego sformułowania nie potrzeba pojęć rachunku całkowego.

Kryterium Jermakowa. Załóżmy, jak poprzednio, że funkcja /(x) jest ciągła (^ł), dodatnia i monofonicznie maleje dla x> l(^a). Wówczas jeżeli dla dostatecznie dużych x — powiedzmy dla x > x₀ —jest spełniona nierówność

<9 < 1 ,

/(«*)**

/« to szereg (7) jest zbieżny, jeśli zaś dla x > x₀ jest

> 1 ,

f(e^x)e^x

/W to szereg (7) jest rozbieżny.

Dowód. Niech będzie spełniona pierwsza nierówność. Dla dowolnego x>xo będziemy mieli (podstawienie t — e")

«* * *

/ /(/) dt = f f(e") d“du < ą J /(/) dt;

f*0    *0    *0

stąd

d-9) / m dt<q[j f(t) dt- f f(t) dt] < ą |f/(r) dt- / /(/) dt]_<qf m dt,

ę*0    xO    e*0    *0    *    *0

ponieważ

(12)    e* > x,

i odjemnik w ostatnim nawiasie jest dodatni.

(^a) W gruncie rzeczy założenie ciągłości można by odrzucić. Patrz odsyłacz (²) na str. 244.

(²) Patrz odsyłacz na str. 242.