0313

315

§ 7. Rozwinięcia funkcji elementarnych

nienie możliwości rozwinięcia danej z góry funkcji na szereg według potęg (x—x₀) lub w szczególności potęg x, tzn. przedstawienia jej w postaci sumy szeregu (2) lub (1).

Zajmiemy się tutaj podobnym rozwinięciem funkcji elementarnych. Drogę do rozwiązania postawionego zagadnienia toruje nam wzór Taylora zbadany dokładnie w ustępach 124-126 poprzedniego tomu. Rzeczywiście, załóżmy, że rozpatrywana funkcja f(x) ma w przedziale <x₀, x₀ + H} lub <x₀ - H, x₀> (H > 0) pochodne wszystkich rzędów (tym samym ciągłe). Wówczas, jak widzieliśmy w 126, dla wszystkich wartości x z tego przedziału zachodzi wzór

(3) /(*)=/(*„) + ^p-(*-*o)+    (X-x₀)² +... +    (x-x_oy + r_n(x),

gdzie resztę r_B(x) można przedstawić w jednej z postaci podanych w ustępie 126. Wskaźnik n można przy tym brać dowolnie duży, tzn. doprowadzić rozwinięcie do dowolnie wysokich potęg (x-x₀).

Nasuwa to w sposób naturalny myśl o rozwinięciu nieskończonym

(4)    /w_=/(,_o)₊/^)(,-_Xo)₊q^(,-,₀₎₂₊...+q^-(,-x_o)»₊....

Szereg taki — niezależnie od tego, czy jest zbieżny czy nie — nazywa się szeregiem Taylora funkcji /(x). Ma on postać (2), a jego współczynniki

flo =/(x o),

/'(x o) 1! ’

a₂ =

f"(x o) 2! ’

a_n

f^M(x o) n!

noszą nazwę współczynników Taylora.

Ponieważ różnica między funkcją /(x) i sumą n +1 wyrazów szeregu Taylora, wobec (3), wynosi r„(x), więc oczywiście na to, by dla pewnej wartości x rzeczywiście zachodziła równość (4), potrzeba i wystarcza, aby reszta r_n(x) we wzorze Taylora dążyła dla tej wartości x do zera, gdy n rośnie do nieskończoności:

(5)    lim r„(x) = 0 .

«-0Q

W badaniu zagadnienia, czy równość ta zachodzi i dla jakich wartości x, będą pożyteczne różne postacie reszty r_n(x) ujawniające jej zależność od n.

Najczęściej mamy do czynienia z przypadkiem, gdy x = 0 i funkcja rozwija się na szereg, bezpośrednio według potęg x

(6)

/<*>=/(oj + m,₊m*-+...+£?©.*■+... o.

1!    2!    n!

(‘) Szereg ten nazywa się zwykle szeregiem Maclaurina. Patrz odnośniki na str. 203 i 206 pierwszego tomu.