0331

333

§ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów

413. Przekształcenie szeregów potęgowych według Eulera. Przy wykorzystaniu szeregu do rachunków przybliżonych bywa niekiedy wygodnie poddać go najpierw przekształceniu. Tak nazywamy zastąpienie, według takiego lub innego prawa, danego szeregu zbieżnego przez inny szereg o tej samej sumie. Oczy-wiście zastosowanie takiego przekształcenia jest tylko wtedy celowe, gdy nowy szereg jest szybciej zbieżny lub wygodniejszy w rachunkach.

Wyprowadzimy wzór na klasyczne przekształcenie zwane przekształceniem Eulera. Niech będzie dany szereg zbieżny

(3)    S(x) =    (-l)*o*    = flo-ai x+a₂ x²— ... +(-l)‘o* x*+ ....

k-0

gdzie x>0. Tylko dla wygody przedstawiamy współczynniki szeregu w postaci (— l)‘a*; nie zakładamy przy tym wcale, że a_k>0. Dla ciągu {o»} rozpatrzymy kolejne różnice wyrazów

Aa_t = a_k+l-a_k, A²a_k - Aa_k+_k —Aa_k— a_k+2-2a_k+l+a_k

i ogólnie

(4)    A"a_k - A^p-ⁱa_k+i~A^,~^la_k = n»+,-(J) fli+p-i+CS) a_t+,-₂— ... +(-l)'^,o*,

(podobnie jak to zrobiliśmy w ustępie 122 dla funkcji f(x) ciągłego argumentu x).

Napiszemy teraz nasz szereg w postaci

S ryi — ^a° — °i x—Op x , a₂ x²—a_l x² _ a₃ x³—a₂ x³ , l+x    l+x    1+X    l+x

Jest to dopuszczalne, bo k-ta suma częściowa nowego szeregu różni się od analogicznej sumy częściowej szeregu (3) tylko o składnik    1)*⁺¹«ł+iX*⁺¹, który dąży do zera, gdy k -*■ oo, wobec zbieżności

szeregu wyjściowego [364, 3°]. Uprościmy teraz wzór, wprowadzając różnice i otrzymamy

S (x)

l+x

(a₀—Aa₀’X+Aa₁-x¹—Aa₂‘x³+ ...).

Zachowując pierwszy wyraz a₀/( 1 +x) przepiszemy pozostały szereg

l+x

(Aa₀—Aa_k-x+Aa₂-x²— ...),

podobnie jak S (x), w postaci

1

• (Aa₀—A²a₀ x+A²a_k x²— ...),

1+* l+x

skąd, po wynalezieniu znowu pierwszego wyrazu, będziemy mieli ę_xy _ Qq___Aao „i x

l+x (l+x)² '*⁺ (l+z)² Kontynuując takie postępowanie otrzymamy po p krokach

(5) S(x) = -^-

(A²a₀—A²a_l-x+ ...).

A°o_A³ao ,_ri_ 4_c_up-i A^r lgo .j

•x²- ... +(-l)'-¹ ——^ •x^,'-¹ + R,(z) . l+x (l+x)² (l+x)^s    V    (l+x)^p    '

gdzie

E_r(x) = (-1)’ ■    (A^fa₀—A^pa_l-x+A^pa₂-x²— ...) = (-1/    *    ■ Vl)^kA^pa_t-x*.

(l+x)^p    (l+x)^p Z—l