0333

335

§ 8. Rachunki przybliżone — Przekształcanie szeregów

Jeśli przyjmiemy tu z = 1, to otrzymamy przekształcenie znanego szeregu dla ln 2

M-l    n-I

Jest jasne dla czytelnika, że drugi szereg jest znacznie wygodniejszy do obliczenia przybliżonego ln 2. Aby uzyskać dokładność do 0,01, trzeba by wziąć w pierwszym szeregu 99 wyrazów, podczas gdy w drugim szeregu wystarczy wziąć tylko 5 wyrazów!

2) Niech a_k = l/(z+2k) (z=£0, —2, —4, ...). Przedstawimy a_k w postaci a_k ■

i do

1

-z+k

wyznaczenia JjL będziemy się mogli posługiwać poprzednim wzorem:

2^r*^l‘p\

W tym przypadku przekształcenie Eulera daje

00    CO

Zj z+2A:    2 Z—i z

2    z(z+2) ...(z+2p)

P'-

(z+2) ... (z-f 2p)

W szczególności, gdy z = 1, otrzymujemy przekształcenie szeregu Leibniza, którego suma jest równa yr,

OO    00

4 Z_i 2*+l    2 Z_i

9!

(2p+l)l!

Jk-0    p-0

3) Dla 0 < x < 1 wyprowadziliśmy w ustępie 404 (c) rozwinięcie

_rlt + l

2Jt+l

Chcąc zastosować do tego szeregu ogólnego przekształcenie Eulera, przyjmiemy w (6), iea_k= l/(2&+1). Wówczas — po wykorzystaniu wzoru na A^pa₀ z poprzedniego przykładu (dla z = 1) — będziemy mieli

(2p)!l

(2p+l)H

Oprócz tego zastąpimy w wzorze (6) x przez x² i obie strony równości pomnożymy przez x. W wyniku otrzymujemy

V (2p)l!    / x^ł V

Zj (2p+l)!! \l+W '

00

(8)

arc tg x ■■

2k+l l+x²

k-0    p—O

4) Nie należy przypuszczać, że przekształcenie Eulera szeregu zbieżnego prowadzi zawsze do poprą-

00    00

wienia zbieżności. (Porównując zbieżność dwóch szeregów £ c,ij] c', bierzemy za punkt wyjścia stosu-

*-0    Jt-0

nek odpowiednich reszty, i y'_n — jeżeli |y,|/|y'| -*■ 0, to pierwszy szereg jest zbieżny szybciej, a drugi wolniej, tak samo jak w ustępie 375, 7)).

A oto przykłady:

Szereg £ (— 1)* -=j- przechodzi w szybciej zbieżny szereg ^r- • — , natomiast szereg ^ -=j-2    ___ 2    4    . . 2

przechodzi w wolniej zbieżny szereg

P>0    '    '