0411

413

§ 3. Zastosowania

i wreszcie

C (*+2tc) = C (at), S (jc+2tc) = S(jr).

Ostatnia zależność mówi, że funkcja C (jc) i S (jc) mają okres równy 2nr.

Łatwo dają się wyprowadzić także inne „wzory redukcyjne”. Pozostawimy to czytelnikowi.

Teraz spróbujemy udowodnić, że rozpatrywane funkcje C (jc) i S (jc) są identyczne z funkcjami trygonometrycznymi cos jc i sin jc, a także, że wprowadzona przez nas formalnie liczba ń jest równa tej liczbie n, która odgrywa tak ważną rolę w geometrii.

Rozpatrzmy w tym celu krzywą, daną równaniami parametrycznymi

*=C(f), y = S(l),

gdzie parametr t zmienia się od 0 do 2jt. Z uwagi na (16), wszystkie jej punkty spełniają równanie jc² + +>^,2= I, to znaczy leżą na okręgu o promieniu 1 i środku w początku współrzędnych (rys. 61). Wykażemy, że otrzymujemy w ten sposób każdy jej punkt i to tylko raz; wyjątkiem jest naturalnie punkt początkowy A odpowiadający wartościom t = 0 i / = 2«.

Widzieliśmy, że SU)>0 jeżeli tylko 0</<2, a więc na pewno także dla 0<i< y rr. Zastępując w drugim wzorze (18) .t przez — / otrzymujemy

Sfr-t) = SU);

skąd łatwo widać, że S(t)>0 także dla y7r</<7:.

A więc funkcja CU), której pochodna jest równa —SU), maleje monofonicznie, gdy t zmienia się od 0 do jc przyjmując wszystkie wartości od 1 do — 1 dokładnie jeden raz. Stąd widać, że przedziałowi <0,7i> zmienności parametru odpowiada wzajemnie jednoznacznie górna część naszego okręgu. Analogiczny wniosek możemy otrzymać dla przedziału <jt, 27c> wartości parametru i dolnej połówki okręgu z uwagi na to, że [patrz (18)]

C(f + n)= -CU), S (/ + tc) = —5 (t).

Teraz korzystając ze wzoru (4) z ustępu 329 obliczmy długość luku AM przyjmując, że punkt M odpowiada wartości t parametru. Biorąc pod uwagę (17) i (16) otrzymujemy

SU) = J VWuWTWuWdt = t.

o

Stąd otrzymujemy, że / pokrywa się z kątem 8 — <AOM wyrażonym w radianach, a więc

C (8) — x = cos 8, S (8) = y = sin 8 .

Jednocześnie długość całego okręgu jest równa według naszego wzoru 2ir, a więc wprowadzoną przez nas liczbę można utożsamić z liczbą ir rozpatrywaną w geometrii.

444. Przykład funkcji ciągłej bez pochodnej. Pierwszy tego rodzaju przykład był podany przez Weier-strassa. Jego funkcja jest określona przez szereg

00

/(jc) — y¹ a" cos (6” ~x),

gdzie 0<a< 1, a b jest liczbą naturalną nieparzystą (przy czym ab> 1+ y ir). Majorantą tego szeregu jest postęp zbieżny £ a", a więc [430, 431, twierdzenie 1 ] szereg jest zbieżny jednostajnie i jego suma jest zatem