0482

484

XIII. Całki niewłaściwe

1° Jeżeli całka ff(x) dx jest zbieżna, to zbieżna jest także całka f f{x)dx (A > a) i na

a    A

odwrót. Ponadto

J f(x) dx = J7(x) dx+ J f(x) dx .

a    a    A

oo

2° Gdy całka f f(x)dx jest zbieżna, mamy

A

lim f f(x) dx = 0.

A-co J

00    00

3° Ze zbieżności całki j f(x)dx wynika zbieżność całki f c-f(x)dx (c = const),przy czym

a    a

J c*/(x) dx = c*J f (x) dx.

a    a

Wreszcie:

00 00 00

4° Jeżeli zbieżne są obie całki jf(x)dxi j g(x)dx, to zbieżna jest całka f [f{x)±g(x)]dx

aa    a

J [f(x)±g (x)] dx = j /(x) dx± j g (x) dx.

474. Zbieżność całki w przypadku funkcji dodatniej. Jeżeli funkcja /(x) jest dodatnia (nieujemna), to całka

(4)    0(A) = ff(x)dx

a

jest funkcją monotonicznie rosnącą zmiennej A. Odpowiedź na pytanie o istnieniu jej granicy skończonej dla A -* oo otrzymuje się bardzo łatwo na podstawie twierdzenia o granicy funkcji monotonicznej [57].

Na to, żeby całka niewłaściwa (1) z funkcji dodatniej f{x) była zbieżna, potrzeba i wystarcza, żeby całka (4) pozostawała dla A rosnącego ograniczona od góry:

A

f /(x) dx < L (L = const).

a

Jeżeli warunek ten nie jest spełniony, to całka (1) ma wartość co [porównaj z 365]. Na tym oparte jest następujące twierdzenie porównawcze o całkach z funkcji dodatnich:

Twierdzenie 1. Jeżeli przynajmniej dla x> A (A >a) zachodzi nierówność f(x) ^ g(x),

oo    oo

to ze zbieżności całki j g(x) dx wynika zbieżność całki j f(x)dx lub też, co na to samo

a    a

00 00

wychodzi, z rozbieżności J f (x) dx wynika rozbieżność f g(x) dx.