0556

558

XIII. Całki niewłaściwe

4) Niech będzie dana całka

Przedstawmy ją w postaci sumy całek J+J nie starając się jednak o to, żeby druga z nich była mała. Cał-

o A

kując następnie przez części

i x sin x cos jt ^ sin x _^ cos a _ pQ sin x

+ 720 f

Biorąc na przykład A = 2tt, otrzymujemy

2t (2tt)³    (2tt)³

/’ sin x j ₌ J___2    24

J    r    2tt

Suma całkowalnych wyrazów wynosi 0,15354... Dalej

0 < 720 f dx < 720 f — = -1^2- < 0,002. J x⁷    J x⁷    (2:r)⁶

Obliczając całkę J według wzoru Simpsona (2n = 40, cztery cyfry po przecinku), otrzymujemy 1,4182.

Oszacowanie błędu:

/(x) - y⁽■^ir*^2m, r^x\x) = y -1—

Z_i (2m+1)!    Z_i 2m!i

l)"*²

2m!(2m + 5) '

l/^,4,WI < y cosh 2k < 54, |rt| < 0,0012 .

Stąd po uwzględnieniu ogólnego błędu mamy

1,5702 < / < 1,5752, I = l,57₊₀.oi ■ Jak wiemy [492, 3°1, w rzeczywistości jest / = j ir = 1,5707...

502. Wykorzystanie rozwinięć asymptotycznych. Przy przybliżonym obliczaniu całek postaci

/ /U) d>

X

wygodne jest często korzystanie z rozwinięć asymptotycznych. Wyjaśnimy to na przykładach.

1° Logarytm całkowy. Gdy 0<o< 1, logarytm całkowy li a definiujemy wzorem