34663

('alki nieoznaczone

Definicja 2 (całki nieoznaczonej). Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną Junkcji f na przedziale l oznaczamy zbiór funkcji

{F(x) + C:Ce R}.

Całkę nieoznaczoną funkcji / oznaczamy przez J f(x)dx.

Całka oznaczona — notacja

Liwa^a. W dalszej części wykładu będziemy opuszczali nawiasy klamrowe w definicji całki nieoznaczonej, a więc np. zamiast pisać

Jxdx={j +C,C€r|

będziemy pisać:

J xdx= y +C.

Całki nieoznaczone ważniejszych funkcji elementarnych

Wzór	Zakres zmienności
J'(klx = C	x € R
f^y‘^dr = w^+c	n 6 NU {0} orazx € R
	p - -2. -3____;x < 0 lub x > 0
/ x“dx = + C	«€ R\Z
f^1rdx= ln \x\ + C	x € (-oc.0) lub x € (0, oc)
	0 < a 1 oraz j- € R
f c^dr — e^r + C	x € R
f sin xdx = - cos x + C	x € R
f cos xdx = sin x + C	x € R

gdzie C — dowolna stała rzeczywista.

Twierdzenie o całkach nieoznaczonych

Twierdzenie 3 (najprostsze reguły całkowania). Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne. to (0 I (/(*) + 9i*)) dx = f f(x)dx + J g(x)dx.

(ii)    f (f(x) - g(x)) dx = f f(x)dx - / g(x)dx.

(iii)    f (cf(x))dx = cj f(x)dx, gdzie c € R

Przykład 2. Korzystając z Twierdzenia 3 chcemy obliczyć całkę f (x - 3e^r) dx:

j (x - 3e^x) dx = J xdx-3 J e^zdx = y - 3e^x + C.

Całkow anie przez części

Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez części)). Jeżeli funkcje fig mają ciągle /x>chodne. to

J f(z)g'(x)dx = f(x)g(x) - j f^,(x)g{x)dx.

Ćwiczenie 1. Korzystając z twienlzenia o całkowaniu przez części obliczyć podane całkę nieoznaczoną:

/

xcos xdx.

Przyjmujemy f(x) = x.

(J(x) = cosx. Wtedy f'(i) — 1 i (można przyjąć np.) g(x) J xcosidx = xśuix — J suixdx = xsinx +

= sin x. cos x + C.

2