17871

Definicja (w sensie Cauchy’ego)

Niech będzie dany punkt € R oraz niech będzie dana funkcja f : Df —► R określona w pewnym sąsiedztwie tego punktu. Wtedy liczba g jest granicą funkcji f w punkcie xq (piszemy wtedy lim f(x) = g), jeśli

X—

zachodzi warunek:

Ve > 0 3S > 0 Vx € Df [(0 < |x - xjj| < S) =► (|f(x) - g\< e)]

Przykład Korzystając z powyższej definicji wykażemy, że lim (2x + 1) = 3. Zgodnie z definicją:

x-»l

lim (2x + 1) = 3

X—>1

t

Ve > 0 35 > 0 Vx e R [(0 < |x - 1| < 6) => (|(2x + 1) - 3| < e)]. Weźmy zatem dowolny e > 0 i znajdźmy S > 0 aby ten warunek zachodził. W tym celu rozpiszmy:

|(2x + 1) - 3| < c <*> |2x - 2| < c <=> |x - 1| < f.

Wystarczy zatem wziąć <5 = |.    «o> <«> <i» <i>

dr Łukasz Lenart    Katedra Matematyki Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Granica oraz pochodna funkcji jednej zmiennej. Elastyczność i krańcowość. Ciągłość funkcji