82293

Definicja 3.15 (Granicy funkcji w sensie Cauchy’ego )

Liczbę g £ IZ nazywamy granicą w sensie Cauchy’cgo funkcji / w punkcie xq , jeżeli (Ve > 0) (3<5(£,x₀) > 0) (Vx £ ^4) [0 < |x - x₀| < 6 => |/(x) - 0| < e]

Uwaga 3.3 Liczba g € Ti jest granicą funkcji w sensie Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą w sensie Heinego. Granicę oznaczamy symbolem lim /(x) = g .

Przykład 3.7 Udowodnić, że limcosx = 1.

x—*0

Dowód: Mamy pokazać, że

(Ve > 0) (3<S(e,0) > 0) (Vx € 7Z) [0 < |x| < <5 => | cosx - 11 < e]

Korzystamy z własności: (Vx £ R) |cosx-cos0| = |-2s?n|#m|| = 2| sin | sin || < 2|f |. Biorąc 6 = e otrzymujemy |x| < <5 => |cosx — 1| < e.

9

Twierdzenie 3.1 ( O zachowaniu nierówności w granicy)

Jeżeli funkcje f,g:A—*R mają w punkcie xo granice oraz (Vx £ A ) f(x) > g(x), to

lim f(x) > lim <?(x)

X—xo    X—xo

Dowód: Wprowadzimy oznaczenia: g\ = lim f(x), q₂ = lim g(x) .

X—xo    x-*xo

Niech {x„} C >1. x„ / xo będzie dowolnym ciągiem zbieżnym do Xq -punktu skupienia zbioru A. Na podstawie definicji granicy w sensie Heinego mamy:

lim /(x) = 01 , lim g{x) = g₂

X—*21o    X—Xo

Stosujemy twierdzenie o zachowaniu nierówności przy przejściu do granicy dla ciągów i otrzymujemy g\ > 02 •

9

Definicja 3.16 ( Granicy lewostronnej)

[ lim x„ = xo => lim /(x) = 0]

4i—00    n—00

[ lim x„ = xo =► lim f(x) = o]

n—oc    n—oo

lim /(x) = 0 <=> (V {x„} C A, x„ < xo) *—^xó

Definicja 3.17 ( Granicy prawostronnej)

lim /(x) = 0 <=> (V{x„) C A. x_n > x₀)

Uwaga 3.4 Podane definicje granic: lewostronnej i prawostronnej są równoważne następującym:

lim f(x) = 0 (Ve > 0)(3<5!(e,x_o) > 0)(Vx G i4)[x₀-<5i < a: < x₀ =► |/(x)-0| < £] *-*ć

lim f(x) = g o (Ve > 0) (3 ó?(£, xo) > 0) (Vx £ j4) [xo < x < xo + <5^ <=> |/(x) — 0| < £ ] ^z-*^xo

Przykład 3.8    1. Znaleźć granice lewostronne i prawostronne funkcji w punkcie Xq

13