0530

532

XIII. Całki niewłaściwe

3) Dana jest funkcja f(x) = xe~*. Jest to funkcja monotonicznie malejąca poczynając od x = 1. Tym niemniej

f xe~*dx —    lim A³(e^-*+2e^_1*+3e^_,*+    ...) = lim A^Je~*(l — c^-*)^-1    = limę*    ^    = 1,

i    k—o    .-.o    »-o    \ e‘—1 /

co łatwo sprawdzić całkując przez części.

Przejdźmy do bardziej ogólnego przypadku. Nip zakładamy na razie nic o funkcji f(x) oprócz całkowalności. Mamy

oo    >4    oo

f f(x) dx « J f(x) dx+ f f(x) dx .

0    0    A

Dla dostatecznie dużego A ta ostatnia będzie co do bezwzględnej wartości dowolnie mała (*). Dla dowolnego A będziemy tu dobierali h w ten sposób, żeby A/h było liczbą całkowitą. Wtedy dla A — const również będzie spełniona równość (2).

Widać teraz, że na to, żeby zachodziła równość (I), wystarcza, by spełniony był ponadto warunek

(3)

lim

^-*+00

A-O

A

0.

Rzeczywiście, dla dostatecznie dużego A i dostatecznie małego h wszystkie składniki po prawej stronie równości

v-0

v-0

A

^V”1T

będą wówczas dowolnie małe.

Warunek (3) jest automatycznie spełniony przy podanych uprzednio założeniach o funkcji /(jc), gdyż

00 00 0< V/(vh)h< ff(x)dx.

Jl    A

^v” k

Jest on także spełniony, gdy f(x) = <p (x)-y> (x), gdzie funkcja <p (x) spełnia (chociażby dla jc > ;c₀ > 0) te założenia, które były podane dla f(x), a funkcja y> (x) jest ograniczona: Iftol ^ L. W tym przypadku

00    00    GO

I <P (vh) y (vh)\ < L ^ <f (vh) h < L J <p (x) dx ,

v=Aih    \~Afh    A

itd.

A

oo całki właściwej f.

co

t‘) Jest ona równa różnicy całki niewłaściwej J i dążącej do niiej dla A