0577

§ 1. Teoria elementarna

579

z której daną całkę otrzymuje się dla y — 1. Założenia twierdzenia 3 będą spełnione, jeżeli przyjmiemy /(,,,)-“£*5L    i _jW = -Lr.

*    ]/\—x²

Różniczkując pod znakiem całki względem y znajdujemy

i

dx

rw- f-²

i d+.vV

0+.vV)yT^^r

Całkę tę łatwo obliczyć np. za pomocą podstawienia x -= cos 0

TT/2

IW-/

JO

₀ cos²® J/T+F

Całkując otrzymujemy stąd

J-arctg^®-

W/2 TT

VTT?

² ✓ITT'

/(>) - -i-w In (y+ /Tf^j+C.

Ponieważ / (0) — 0, więc C «■ 0; dla y — 1 otrzymujemy ostatecznie szukaną całkę

/=/(/)«-ł. * ln (1+J/T).

10) Udowodnić, że funkcje

W    TC

(a) n = je" J cos (jr cos 0) sin^u0d0    i (b) «= f cos(«0—jc-sin OjdO

o    o

dla całkowitych i nieujemnych //) spełniają równanie różniczkowe

x²u"Ą-xu'-\-(x² —n²) u = 0,

zwane równaniem Bessela.

Rolę parametru odgrywać będzie tu x. Różniczkując dwukrotnie pod znakiem całki (twierdzenie 3) obliczamy «' i u", a następnie przekonujemy się, że suma z lewej strony równania po podstawieniu za u funkcji (a) lub (b) jest równa

n

(a)    jf*^+l j [,v cos (x cos 0) sin²“⁺²0—

o

—(2/i-J-1) sin (.* cos 0)—cos 6 sin^J"0] dO = — sin^J"^+l0-sin (x cos 0)|* = 0,

R

(b)    — J [(jc^j sin²0+n²—x²) cos (nd— x sin 9)~

o

—x sin 0-sin (nd—x sin 0)] dO = —(ir-f-jc cos 0)-sin (n9—x sin 0)|" — 0.

II) Udowodnić, że równanie

1²u— 0

d²u , J_. du dr² r dr

(dla całkowitych n) jest spełnione przez funkcję Au_t+Bu₂ (A i Bsą dowolnymi stałymi), dla której

TC    TC

u_t- f e"'“"°d9. Ul - / e"'™*⁹ In (r sin²0) JO.

O    O

37*