0653

655

§ S. Całki Eulera

lub, uwzględniając równość (22),

In (n—1) < In *fo+»>-fa(n-l)! _{< ln} ,. a

Wynika stąd, że

ln (tt— !)“•(/?— 1)! < In 0 (a+ri) < In u*-(n—I)!,

a więc

(//— !)*•(/»—1)1 <<ł>(a+n) < /i*• («— I)!

Przechodząc teraz, za pomocą wzoru (21), do wartości 0 (a) dochodzimy do nierówności

(,,-mii-l)!    _gar^O!_.

a(a+l) ... (a+n— 1)    n(n+l) ... (a+n— 1)

Wreszcie, zastępując w pierwszej z tych nierówności n przez n+1, otrzymujemy oszacowanie

0(d)<rf

1 •2-3- ... •(«-!) a (o+l)... (a+n— 1)

<

0(a)-

a+n

n

Stąd już wynika, że

0 (a) = lim n“ ^{1 2 3}‘ - '⁽ⁿ 0 = r(a) h—go a(a+1)...(a+n—l)

— na mocy wzoru (7) Eulera-Gaussa.

534. Przykłady

1) Obliczyć całkę

i

j je"^-'(1 — x^m)*~ⁱdx (p, q, m > 0).

o

Wskazówka. Podstawiając x" — y sprowadzimy ją do całki Eulera pierwszego rodzaju.

Odpowiedź. ~B\— ,^)=— *

m \m / m

^r(i)^r“

^r(^H

Należy udowodnić — na podstawie tego wyniku — że np. przy wszelkim naturalnym n

/

x"dx

f dx

l yi-x¹' ^JQ l/\-x¹"    ¹«

(Euler).

Za pomocą podstawienia

(«+y) x __f    (ti + y)(l-x)    _ j _t    (ot + y) (P+y) dx _

ax+fi(l-x)+y ’ <xx+(l (l-x) + y    ’ [ax+fi (1 -x)+yY

całka ta sprowadza się do

I

(#+yW+7)

1--I /'-*(!=-^B ^^p’-.

J    (<x+y¥(fl+y¥

A

/

^-‘(l-*)«-' [«*+|J(l-jr)+y]'⁺

- dx (a, /S > 0; y, p, q > 0) .

1

Obliczyć całkę