MATEMATYKA140

270 V. ('alka oznaczona

PRZYKŁAD 3.2 Obliczymy całki niewłaściwe (łub ustalimy ich rozbieżność):

0    m    <r

a) fxV^x’dx, b)fxe'dx, c)    .

^{J    J    J}x+2x + 2

-"O    -HI    V

a) Zg(xłme z definicją

o    o

fxV^x,dx = lim fx’e ^X’dx.

J    a * ®»

*    a

Wykonując najpierw podstawienie -x = u, a następnie całkując przez części, otrzymujemy:

Jx’e ^x dx==-y(x^: + l)e ^x\

Zatem

o

fx³e ^x dx=- lim ~(x’ + l)c~^x' =- lim i( l-(a' + l)c “*) -^r,

J    ix—a »--*> Z    L

ponieważ

lim (a² + l)c"^a’ ={0 oo}= lim —r^= lim —y = lim —V = 0.

a ♦    g“ U a * -»• 2(XCⁿ    Q^a

Dana całka jest więc zbieżna i równa -1/2

b)    Zgodnie z definicją (przy jmując c~ 0) mamy

«•    o    w

J xe ^Xdx - J xe~^xdx + J xe*dx.

-w'    -■*    O

Rozważamy pierwszą z całek po prawej stronie:

u    o

fxc *dx= lim fxc ^Xdx= lim (x+l)e ^xf^X = lim ((a + l)c “-l)=-oo.

J    a * n J    « *    >0    *«*—»

a

Całka ta jest więc rozbieżna Zatem dana w zadaniu całka niewłaściwa jest rozbieżna (dla takiego rozstrzygnięcia zachowanie się drugiej całki po prawej stronic nic ma wtedy znaczenia).

c)    Niech c będzie dowolną liczbą rzeczy wistą Wówczas

1—) dx_J dx _.₌ J _L ' X¹ +2x + 2    ' x' +2x + 2 * x f2x+2    ^1    2

(X + 1)

J, = lim f-—^d* — = lim arctg(x i 1)[ =

(x + 1)' + 1    *

K

= lim (arctg(c4ł)-arctg(a t l))-arctg(c+l)+-r-:

p .

J₂=lim f    ~ -- arctg(c -» 1);

- a ..*J _X‘ 4 2x + 2    2

Zatem dana w zadaniu całka jest zbieżna i równa TC. Zauważmy, że rachunki się uproszczą, gdy przyjmiemy c=-l.    ■

Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonej Niech f będzie funkcją nieograniczoną na przedziale < a,b) i całkowalną w każdym przedziale < a, p >, gdzie a < P < b, (por. rys 3.4).

Rys 3.4

Granicę

^Imr^ Jf(x)dx

nazywamy całką niewłaściwą nieograniczonej funkcji f na przedziale

b

< a, b) i oznaczamy symbolem "zwykłej” całki oznaczonej Jf(x)dx.