MATEMATYKA108

206 IV. Całka nieoznaczona

PRZYKŁAD 2.5 Obliczymy całki:

a) J = Jxcos2xdx

Przyjmujemy:

f(x) = x, g'(x) = cos2x, f'(x) I, g(x)₍ ySin2x.

Stąd, zgodnie ze wzorem (2.6), otrzymujemy

J = Jxcos2xdx = xsin2x- ~ Jsin2xdx=~xsin2x t ^ cos2x+C.

Uwaga. Stosując wzór (2.6) należy funkcję podcałkową przedstawić jako iloczyn dwóch czynników i jeden 7 nich przyjąć za funkcję f, drugi - jako pochodną g'. To przedstawienie decyduje o skuteczności metody. Na przykład, jeśli w^r przykładzie a) przyjęlibyśmy

f(x)=cos2x, g'(x)=x, f'(x) = -2sin2x, g(x)»jx²,

to otrzymamy wprawdzie równość prawdziwą, jednak oddalającą nas od celu:

J xcos2xdx= yX²cos2x+J x²sin2xdx.

^b) J=j^^dx = j^x2c 2*^dx=	f(x) = x^2,	g'(x) = e ^2x 1 2x 8(x)= —e
	P(x) = 2x,
gdzie

2x

f(X)» X, g'(x)*e r<x)»i. gW.-ie²*

= -yxV²*+J_lt

=Jxc'^2xdx =

dx

₌_‘_xc-₊jj_c=.

*a—ixc'^2x—i-c ²*+C\

Zatem

J = dx = - - x²e"^2x - j xe~^2x - ^e"^2x +C = - ~e"^2x(2x²+2x +1)+C. ■

a) JVlnxdx =

PRZYKŁAD 2.6 Obliczymy całki: i'(x) = lnx. «'(x) = x*

= ^x⁶lnx-^Jx'dx =

f f	f(x)*liix,	g'(X)«l
lnxdx = llnxdx »	i
J J	1^V(X)=-, x	g(x)-X

f(x)*arctgx, g’(x)= 1

T» g(x) = X

=~x^dlnx-^xSC=^x^A(6lnx-l)+C,

c) J arclgxdx =

f’(x)

1+X

xlnx-Jdx = xlnx-x+C, f xdx

_=xaretgx_j__₌

= xarctgx- i J y~j~-dx = xarclgx—~łn(l + x²)+C.    ■

Do tej pory staraliśmy się aby całka po prawej stronic wzoru na całkowanie przez części, była "łatwiejsza" od wyjściowej. Pokażemy teraz, ze całka po praw^rcj stronic może być identyczna z wyjściową (ze współczynnikiem różnym od 1).

PRZYKŁAD 2.7 Obliczmy całkę:

cos2xdx =

f(x)=e^2x,    g'(x) = cos2x

f'(x)= 2e^ix, g(x)»jsm2x

=-^e^2xsin2x-J_t,

gdzie

J, = Je^2xsin2xdx =

f(x) = e^2x, g’(x)=sin2x

2x    1

P(x)-2c . g(x)--~co$2x 1

= —c^2x cos2 x + Jc^2x cos 2 xdx = - jc^:* cos 2 x + J.

Zatem

J = ^-c^2xsin2x+^-c^2xcos2x-J_t

c L    Z

a stąd

J = Je^2x cos2xdx = |e^2x(sin 2x+cos2x)+C.