20990 MATEMATYKA124

238 IV Całka nieoznaczona

3. a)sinx-^sin^łx. b)-cosx+yco$^łx-*coa⁵x, c) *-sin³x—^sin⁵x,

d)-icos^sx-lcos^łx. c)Ism⁶x-~sm^Kx. O'-sin^, 5    3    6    8    10    14

g)-^cos⁷y + ^cm^v^. h)j(2x-sjn2x). i)~(6\+sui6x).

j)\-^m2x+-L.sm4x, k)x+itg\ -igx, I)---L—ln|ntnxj.

⁸ ą 3-    ’    2siirx

ł)-iclg'x+-ctgx. ^m)^^+j)+4ta|lg(j4~)|+(g²(“--^f7»* n)-iclg²x+h<(gx|

6. CAŁKOWANIE RÓŻNYCH TYPÓW FUNKCJI

PRZYKŁADY Omówione do lej pory metody całkowania i całkowanie poszczególnych klas funkcji umożliwiają całkowanie innych typów funkcji. Obliczymy następujące całki nieoznaczone:

a) Jx²arctgxdx.    b) J

(3+lnx)dx

x(ln^: x-2Inx+5) e*dx

c)

_d)r__£*L_

■^,V44._xVx^    ^ Vc^2,i+2c*+3

sinh x

sin xdx

vcos2x

a)JVarctgxdx =

f(x)-artlgx\ g’(x)«x“

I    I ,

f*(X)--r g(X)-“X

l + X^J    3

i , . i c x dx

^E~x ¹arctgx-~J(x —^)dx«= ^(2x^,arctgx~x² + ln( x²1 l))+C;

f (3-f t)di 1 r 21-2 t^{1 2}-2t+5*2«J t^{3 4} -21+5

lnx »t

—dx - dt

x

_b)f (3-łlnx)dx ^jJx(ln*x-2lnx+5)

dt

-t4f    ^— -ln(t'-2t+5)+2arctg—+C=-ln(ln'x -2lnx+5)4-

J(t l)²-44 2    2    2

_    . In x—1 „

f2arctg—-—+C;

c) f I—^X-_rdx = K^xM U^f-^i^=lV^+C = -V4 + x>/x-tC;

\dx-2tdtj 3j7^7 7 r

_d) f    C*^dx fe*°t L f ^dl ^ f ^dl

>/c²*+2c'-ł-3 W^diJ J Vt²+2t+3 W(^{t + ,})² + 2

In t + l+V(l ⁺ l)²⁺2|+C=ln(cN 11    2c*+3) + C.

<dx _ j* sin xdx [ cosx=t 1 _ f _ck _    ¹ f dl

s2x⁼ J J2cos³x-i ~l-^xdx=dtj" J T^ry"

!2^j^³-[:2

=-^~ ln|t+^t³ - I/2J+C=-■iln |cosx+^/cos³ -1/2 |+C; sinhx ^ f sinhxdx /coshx-t l„f dt

1

cosh^r'U^-1^J 7^-

=arcsin y +C = arcsin( ^ cosh x)iC,

ZADANIA 1)0 ROZWIĄZANIA.

2

Obliczyć całki nieoznaczone

3

a)Jxarclg2xdx,    b)Jx⁷arctgx⁴dx,    c)Jxarcsin2xdx,

4

d)J-Urctg-dx,    c)jJ arcsinc'dx, oJ^arcsin(lnx)dx,