52207 MATEMATYKA107

204 IV. Całka nieoznaczona

PRZYKŁAD 2.3 Obliczymy następujące całki nieozna

czone:

a) fxx/2x-3dx -/    ^Jx'¹‘^|2} = {f(t^!+3)l^jdt =

>    |x"(I² f 3)/2, dx — uli J 2 J

= ^J(t*+3t^J)dt=j(^l^,+t¹)+C=^(x+l)(2x-3)^2x-3+C;

1 młdt=f(.---2t'w.

J (x+2)⁵ }x»ł-2, łlx*-dtj J |³ J

1

1

=-it^,+^r⁴+C=

3    2    2(x+2)⁴ 3(x>2)

T⁺C;

. f dx Jx = Vkt I f \/kdt r dt ___

^J Vk-x² ldx^VkdtJ ^J Vk-kt^: ^ Vl~t²

= arcsin-^j+C.    ■

Ostatni wynik wart jest zapamiętania:

⁽²²⁾    ^7T7^=arcs‘ⁿir^+c’^k>0-

Całkując przez podstawienie uzyskuje się następne trzy, warte zapamiętania, wzory:

(2.3)    J-^dx ^lnlf(x)hC.

(2.4)    j-^H.dx=2Vrw+c,

(2.5)    jf(x)dx = F(x)+C -> |f(ax fb)d\; ^F(ax+b) fC. a*0

Aby otrzymać te wzory wystarczy kolejno podstawić f(x)«1, ^f(x) ■« t. ax+b-* t

my całki: dx

PRZYKIAD 2.4 Stosując wzory (2.2) - (2 5) łatwo obliczy-

dx    . ..v I

_v r ax i c ax .    „ _, i x _

^J Vó-3x²    j2-x²    V3 v2

^b)    J3x^^dX"^lli)?+4^{dX = <} *^{7Ar(33>1 =} Ś^ln<3,‘^2+4)+C’

^c)    J'^e2xdx=JH^dx -- ii^;§sr^dx=<^w6ri⁽² 3)} -

= —In|co^s2x|-ł-C,

d) f—r——d\ =    rdx = { wzór (2.4) } = 2^/3+lnx +C,

^J xy3flnx ^; ^3+lnx

_C) -dx=--[f r-^—dx = { wzór(2.4)    +C,

^JV3-4c^{x    4J}V3-4e*

0 Je^u*’dx = { wzór (2.5)} = +C,

g)    f ~/o ,.dx = { wzór (2.5) }--~j-Clg(3x-l)+C,

h) f, .^dX _.v = { wzór(2.5) } = arctg(x-I) + C.    ■

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI. Metodą tą daje się w wiciu przypadkach obliczyć całkę iloczynu dwóch funkcji.

TWIERDZENIE 2.2 Jeżeli funkcje f i g są klasy C na pewnym przedziale, to na tym przedziale prawdziwy jest wzór (zwany wzorem na całkowanie przez części):

(2.6)    J f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)- J f'(x)g(x)dx.

Dowód Funkcje podcałkowe po obu stronach wzoru są ciągłe, a więc i całkowalne Pozostaje wykazać, że pochodna prawej strony jest równa funkcji podcałkowej po lewej strome:

(f(x)g(x)-Jf'(x)g(x)dx) =(f(x)g(x)) -(Jf'(x)g(x)dx) =

=f'(x)g(x)+f(x)gXx)-r(x)g(x)=f(x)_g'(x). r