MATEMATYKA143

276 V ('alka oznaczona

zbieżna, a całka (b) jest rozbieżna W sytuacji 2) całkę (a) nazywa się bezwzględnie zbieżną, w sytuacji 3) - warunkowo zbieżni)

3 Gdy funkcja pierwotna funkcji podcałkowej jest trudna do znalezienia, to można zastosować przybliżone metody całkowania Wymaga to jednak uprzedniego stwierdzenia zbieżności danej całki niewłaściwej Służą do lego t/w kryteria zbieżności całki niewłaściwej Jedno z nich poznaliśmy już wyżej Mianowicie: jeśli zbieżna Jest całka (b). to również zbieżna jest całka (a) Jest to kry terium bezwzględnej zbieżności Przy kładem innego jest następujące kryterium porów nawcze

zbieżności i rozbieżności całki niewłaściwej x)dx

KRYTERIUM PORÓWNAWCZE (zbieżności i rozbieżności całek niewłaściwych) Niech funkcje f i g będą całkowalne na każdym przedziale < a,p >. gdzie a < p. a-const i niech spełniają one nierówność 0< f (x) g(x) dla x > a₀, gdzie a_rt > a. Wówczas

(I) jeśli całka Jg(\)d\ jest zbieżna, to Jf(x)dx jest leż zbieżna.

a

a

(2) jeśli całka Jf(x)dx jest rozbieżna. 10 Jg(\)dx jest też rozbieżna

a

o

e < e ' dla x £ 1

o

£żŁ>l dla x£l \ x

oraz całka f jest rozbieżna (por przykład 3.1 b).    ■

* X

1

4 Za pomocą całek niewłaściwych można badać zbieżność pewnych szeregów liczbowych (i odwrotnie). Umożliwia to następujące

KRYTERIUM CAŁKOWE (zbieżności szeregów) Jeżeli ^a„“f(ⁿ). gdzie f jest funkcją nicujcmną i mcrosnącą na przedziale

on

< l,oo). to szereg ]T a„ jest zbieżny wtedy i ty lko wtedy, gdy zbieżna jest

n-1

całka niewłaściwa J f(x)dx.

3.6

zbadamy zbieżność szeregów:    a) ]T

PRZYKŁAD 3.6 Korzystając z kryterium całkowego.

.a ’

■»!

n I

t nln n

C e

oraz c) zbieżność całki niewłaściwej -    — dx

•[ x + 3

a) Dla ot < 0 dany szereg jest rozbieżny, gdyż me spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu Dla ot > 0 wygodnie jest zastosować kryterium całkowe Ponieważ a_n = l/n^a - f(n), więc f(x)= l/x". Na przedziale < l.oc) funkcja f jest malejąca i dodatnia Badamy zbieżność

lA

całki niewłaściwej f \ dx w zależności od parametru a.

J \

<*

Dla a = 1 całka f — dx jest rozbieżna (por przy kład 3 I b)

w

Gdv a 6 (0.1), to całka \-\ dx jest również rozbieżna, gdyż

J v'*