Matematyka 2 '7

276 IV. Równania róimczkowe zwyczajne

Oilpo« I c d z I . Litery C. C,.C_; w odpowiedziach oznaczają stale, które przyji ją, jeśli me ma innej informacji, dowolne wartości rzeczywiste

1 y - x^ł - 2x+ 2.    2. y = l-t-xe" 3. y = x⁵+Cx+2.

4    y_-Uc,x-*C_;, «) y = i+Cx-C, x>0. b) _ys*JUx-1. x>0.

c) y = -~ ‘4x-4. x>0 Sporządzenie odpowiednich rysunków pozostawiamy Czytelnikowi

6. a) y = C,A -rl_\. x*0, h) y = -^ + C, ln|xf+C₂.

c)    y-(x- t)c‘ + C,x^J < C., x *0.

d)    y = C; y=lnlx-*-C,f+C_;, e) y = C\-C,cosx - x. x*ktr/2.

0 y = x ln|l-C,e^;*|+C,. y=-x+C,

g)    y-C. x*0; y = -x • C, x<0. y = C₂ - x-7r-ln|l C,xl. x#0. C, *0.

M

h) y=C. x*0. y=-—tC; y=7J—ln|—C, *0.

X    C| x-*-Lj

i)    y^x + 2C,(/T-l)e^-rC_ł. x>0. jj y = x+C; y = p-c'“ + C*. C, * 0.

'-1

1 Jc7 »-x

M y-C; y = |*C: y-—~lnl^=4-H-C₂ (C,>0).

2yC,    V^r« “ *

y = ■ _ri= aretg- J^=.♦ C. (C,<0).albo >•- — łC. CcR.

V*c, V-c, •    *

ora/ > ^C_;+ ~C Im-J——-L >-C_; -C|arelg(Ć,x), gdzie C, >0. C₂ eR

I) y = C: y-C- c*. y--r-ln|C,e* -l[-»C_:, C*,*0

'-i

2 a) y-C: ln!tf-* + C,y = C₂. b) y = C; y =

C.C'rC^y,>

C-*’ * 1-C,c^c'' ’

_h)    y = C: y = 2x + C; y--2). C,*0.

i)    y-C; y = -ln(C₂-C,x). j) y = C. y^: *cosy-C,x = C,. k) y = C. C>0; y(l♦ lny)-C,xsC₂

8 a) y~t'^%. b) y = -^-(ln^; x-lnx + l). c) y = -^j. x>-2. dj y =    x<ln2, c) y ~-JS-2x. x<5/2.

O y = x ♦ lnV2x-l . g)y = -|-arcigx. y a) y--|- + x\ x>0, ^b)y = f^> x>—j. ^c) y^=x<^,-^,nx^ ^x>l-

d) y=ln((c-l)x + l), c) y = —»/lQ-6x. x<5/3. O y = (Vx-De'\ x>0.

6. RÓWNANIE LINIOWE II RZĘDU.

RÓWNANIE LINIOWE RZĘDU DRUGIEGO. Równanie róż-niczkowe postaci

(6.1)    y" + Pi(x)y' + p₃(x)y = q(x).

gdzie p,. p, iq są funkcjami ciągłymi na pewnym przedziale, a y=y(x) jest funkcją niewiadomą, nazywamy równaniem liniowym 11 rzędu.

Jest to równanie liniowe względem niewiadomej funkcji y i jej pochodnych

y'iy .

Jeśli q( x) s 0. to równanie (6.1) przyjmuje postać y" + p,(x)y' + p,(x) = 0

i nazywane jest równaniem liniowym jednorodnym Jeżeli funkcja q nie jest tożsamościowe równa zeru. równanie (6.1) nazywane jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Na przykład równania

y" -2xy* = x\ y"-xy'+2y = 0

są równaniami liniowymi rzędu drugiego, przy czym pierwsze z nich jest równaniem liniowym niejednorodnym, a drugie - jednorodnym.

c) y = C; y =*-x + C; y = -ln(C, - C>e'). d) y»C; y-

, C,*0.