Matematyka 2 3

252 IV. Równania różniczkowe zwyczajne

gdzie P, i Q są pewnymi wielomianami stopnia I. / = max(m.n) oraz k = l gdy a=-a / |i = 0 albo k - 0. gdy a*-a lab 0

Łatwo widać, że przypadek III jest najogólniejszy i 7 niego wynika I (gdy |$* 0) i II (gdy u = 0).

Powy/sze wskazówki nie wystarczą by przewidzieć rozwiązanie szczególne równań:

y'-y = l + sinx.    y' + 2y = x-e*.

W takich przypadkach można skorzy stać / następującego twierdzenia.

TWIERDZENIE 3.3. Jeżeli y = y,(x). \€ta.b),jest rozwiązaniem równania

y'+ay = q,(x),

a y = >s(x). \ cta.b). jest rozwiązaniem równania

y' + ay = q,(x),

10 y = y,(x) + y,(x). X€(a.b), jest rozwiązaniem równania

y* ⁺ay = q,(x)+q,(x).

PRZYKŁAD 3.5. Dla równania

(I)    y’ + 2y»4x-3e ²‘

przew idujemy rozw iązanie szczególne

y, = Ax + B + Cxe^:\

Podstaw iając y, i y^ do równania (1) otrzymujemy równość A 4 Ce ^:% + 2Ax+2R = 4x-3e z której wynika, że A = 2. B = -1, C = -3. Zatem funkcja y =2x- I -3xc“’\ xeR,

jest rozwiązaniem szczególnymi równania (I).    ■

PRZY KŁAD 3.6. Rozwiążemy równanie

(1)    y'-y*2xcosx przy warunku początkowym y<0) = 2

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne

(2)    y'-y = o.

Rozwiązanie ogólne lego równania określa wzór

(3)    y*-Cc\ CeR. xeR

Korzystając z metody przewidywania znajdziemy rozwiązanie szczególne równania (I). Przewidujemy, żc

y, = (Ax + B)cosx + (Cx + P)sinx.

Po podstawieniu y\ i y' do równania (1) mann

(-Ax + Cx + A- B ♦ P)cosx + (-Ax —Cx-B+C-D)sinxs2xcosx.

Równość ta zachodzi jedynie wtedy, gdy

-Ax-*-Cx ♦- A - B + D = 2.\ i -Ax -Cx- B + C- D = 0.

czyli

-A + C = 2.

A-B+D = 0,

-A-C » 0.

-B+C-P = 0.

Stąd otrzymujemy, że A = -1. B = 0, C = 1. D = 1 Tak więc, funkcja

(4)    y_% = -xcosx+(x + l)sinx, xeR,

jest rozwiązaniem szczególnym równania (1).

Suma rozwiązania ogolnego równania jednorodnego (2) i rozwiązania szczególnego równania (1) jest rozwiązaniem ogólnym równania

(I):

y = yu + y,-

Zatem, zgodnie z (3) i (4), rozwiązanie ogólne równania (1) jest określone wzorem

(5)    ysCc*-xcosx+(x-H)sinx, xeR, CeR.

A teraz wyznaczymy to rozwiązanie równania (I). które spełnia warunek y(0) = 2. Podstawiając x = 0 i y = 2 w e w/orze (5) otrzymamy C = 2. Szukanym rozwiązaniem jest funkcja

y = 2e^x - xcosx +(x + l)sinx, xeR.    ■

Czytelnik, który zechce rozwiązać powyższe równanie metodą uzmienniama stałej, może się przekonać, że w tym przypadku metoda przewidywania jest bardziej efektywna, gdyż. szybciej i łatwiej prowadzi do rozwiązania zadania