Matematyka 2 &3

262 IV Równania różniczko** zwyczajne

4. RÓWNANIE ZUPEŁNE. CZYNNIK CAŁKUJĄCY

RÓWNANIE ZUPEŁNE. Załóżmy, że funkcje P(x.y) i Q(x,y) są funkcjami klasy C na pewnym jednospójnym obszarze D. przy czym funkcja Q jest różna od zera w punktach lego obszaru . Równanie różniczkowe

^dy, **(x,y) _n dx Q(x,y)

zapisywane na ogól w postaci

(4.1)    P(x,y)dx + Q( x.y)dy = 0,

nazywamy równaniem zupełnym, gdy lewa strona równania (4.1) jest różniczką zupełną pewnej funkcji na obszarze D.

Oznacza to, że istnieje taka funkcja F. że

J£ = P(x,y) i ^ = Q(x,y) dla (x.y)eD.

Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną pary funkcji P i Q lub funkcją pierwotną różniczki P(x,y)dx-^Q(x,y)d)

Przy założeniu, że funkcje P i Q są klasy C¹ na obszarze jedno-spójnym D, warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia funkcji pierwotnej pary'funkcji P i Q jest równość:

<«)    §=§• <*.y>^eD-

Jeśli więc funkcje P, Q są klasy C¹, funkcja Q jest różna od zera oraz P^ = Q* na obszarze jednospójnym D. to równanie (4.1) jest równaniem zupełnym na tym obszarze.

Przy przyjętych założeniach, z twierdzenia 1.2 (Cauchy’ego) wynika, że przez każdy punkt obszaru D przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (4.1).

Wykazuje się, że dla każdego rozwiązania y = y(x), xel, równania (4.1) istnieje taka stała C, że F(x,y(x)) = C dla x el, i odwrotnie: każda funkcja v = y(x), dla której F(x,y(x)) = C. xel. gdzie C jest dowolną stałą, jest rozwiązaniem równania (4 .1). Zatem rów nanie (4.3)    F(x,y) = C.

określa rozwiązanie ogólne równania (4.1).

Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(x₀) * Yo otrzymamy z (4.3) przyjmując C = F(x₀,y_o), przy czym wiadomo. ze przy przyjętych założeniach równanie (4.4)    F(x,y) = F(x_o,y₀)

określa dokładnie jedno takie rozwiązanie (por. rozdz. II, 7, tw. 7.1). Niemniej, efektywne rozwiązanie równania (4.4) względem y bywa trudne. u czasem wręcz niemożliwe. Wówczas pozostajemy przy postaci u-wikłanej (4.4) rozwiązania szczególnego lub (4.3) - rozwiązania ogólnego

PRZYKŁAD 4.1. Równanie

(1)    (2xy-3x^:)dx + (x² + 3y² + l)dy = 0 jest równaniem zupełnym na całej płaszczyźnie. Istotnie:

P(x.y) = 2xy-3x‘. Q(x,y) = x^: +3y² + I, P; = 2x, Q'. = 2x,

więc P* = Q; oraz Q(x,y) * 0 dla (x.y) e R\ Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi więc dokładnie jedno rozwiązanie równania (I)

Wyznaczymy funkcję F, dla której lewa strona (I) jest różniczką zupełną, czyli taką funkcję F. dla której

fF;=2xy-3x²,

|F;=x² + 3y² + Ł

Z pierwszego z tych równań wynika, źe

F(x,y) = J(2xy- 3x² )dx = x²y - x' + ę»(y).

Różniczkując względem y i uwzględniając drugie równanie, mamy Fy = X² +ę>'(y)=x² + 3y² +1, skąd ę>'(y) = 3y² + 1, <p( y) = >^ -»- y - Zatem

F(x,y) = x²y-x' + y³ + y.

Rozwiązanie ogólne równania (I) określa równanie

(2)    x²y-x^}+ y³ + y = C, gdzie C jest dowolną stałą.