Matematyka 2 7

256 IV Równaniu różniczkowe zwyczajne

określa rozwiązanie ogólne równania (2). W konsekwencji, wobec związku 1/y=t. otrzymujemy, żc

CeR.

y=

Cc"*-e -^x

jest rozwiązaniem ogólnym równania (I). Ponadto rozwiązaniem tego równania jest funkcja stała y=0 dla x eR

b) Jest to równanie Bcmoullicgo (a = 1/2 ):

(I)    y’-" = 2x_>/ycosx.

Z twierdzenia 1.2 (Cauchy*ego) wynika, że przez każdy punkt obszarów D, = {(x.y) eR^:; x>0 a y>0|,    D_:= {(x,y) eR^:: x<0 a y>0}

przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania. Ponadto rozwiązaniem równania (I) jest funkcja stała y=0dla xe(-<*.,0) i dla xe(0.+ ' l. Znajdziemy teraz rozwiązania przebiegające w obszarach D, i U_:.

Przy założeniu, że x*0 i y>0 dzielimy obie stron) równania (I) przez T> ^:

= 2xeosx

'■.IŁ

V *

a następnie stosujem\ podstawienie y[y = i Wówczas —= y' = l * W

2>/y'

konsekwencji otrzymujemy równanie liniowe

(2)    t* -= x eosx.

Stosując metodę uzmienniania stałej otrzymujemy, że

t = xsinx + Cx. CeR, jest rozw iązaniem ogólnym równania (2).

Ponieważ l = więc y = t przy założeniu, żc t>0. Zatem

wzór

(3)    y =(xsinxt-Cx)‘, CeR, przyzał, Ze xsinx+Cx>0. określa rozw iązanie ogolne równania (I).

Na koniec wyznaczymy to rozwiązanie równania (1), które przechodzi przez punkt (n/2, n‘/l6)eD_t. Podstawiając x = n/2. y = n²/\6 w (3) otrzymujemy

f₊^cf>0.

— = (—+ C— 16 *2 2'

. ir -.u.?

i

czyli

i=(l + C)^J i 1 + C>0,

Stąd wynika, że C =    .

Rozwiązanie, którego szukamy jest określone na przedziale (a.b) takim, że (a.b)c(O.-Ko), ^-€(a,b) oraz. zgodnie z (3),

sinx-^>0 dla xc(a,b). Jest to przedział    Zatem rozwiąza-

2 6 6 nicm spełniającym podany warunek początkowy jest funkcja

(xsinx--^x)²,

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Podać dwa przykłady równań liniowych 1 rzędu.

2.    Podać przykład równania liniowego takiego, że

a)    przez dowolny punkt płaszczyzny przechodzi krzywa całkowa tego równania,

b)    wszystkie krzywe całkowe tego równania przebiegają w półpłasz-czyźnie D = {(x_ty)eR²: x>0)

3.    Rozwiązać następujące równanie liniowe jednorodne:

a) y' + 2xy = 0,    b)y--^ = 0,    c) y' + -£-=0.

l + x    xlnx

d)y'«yctgx,    e)y'-3y = 0,    0 y‘ + ay = 0, a = const.

Znaleźć rozwiązanie równania spełniające warunek y(x₀)=y₀. a następnie naszkicować odpowiednią krzywą całkową: