Matematyka 2 $9

248 IV Równania różniczkowe rnyczajne

jest pewnym rozwiązaniem równania (3.1). Dokładniejsza analiza wzoru (3.4) pozwala sformułować następujące twierdzenie:

TWIERDZENIE 3.2. Jeżeli y = y₀(x,C), x€(a,b),jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego (3.2) oraz y = y,(x), x€(a,b). jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego (3.1). to

y = y₀(x.C) + y»(x).

jest rozwiązaniem ogólnym równania (3.1).

PRZYKŁAD 3.1. Znajdziemy rozwiązanie ogólne równania

(1)    y'-Z = 2lnx.

Z twierdzenia 3.1 wynika, że przez każdy punkt obszaru D = {(x.y) g R^:: x > 0} przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Najpierw rozwiązujemy odpowiednie równanie liniowe jednorodne

y'--=o,

x

czyli

dx x

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, zatem znana metodą otrzymujemy rozwiązanie ogólne

(2)    y₀ = Cx, C cR, x>0, tego równania.

Rozwiązanie ogólne równania (I) znajdziemy "uzmicnniając stałą" C we wzorze (2). to znaczy szukać będziemy rozwiązania równania (1) w postaci

y = C(x)

Obliczamy: y' = C'(x)x + C(x). Podstawiamy do równania (1) i otrzymujemy

C'(x)x +C(x)-C(x) = 21nx,

a stąd

C'(x) = |lnx,

C(x) = ln³x + C, CgR.

Żarem rozwiązanie ogólne równania (I) określa wzór

y = (In²x + C)x. CeR,x>0.    ■

Rozwiązanie ogólne równania <3.1) można wyznaczyć korzystając z twierdzenia 3.2. co zilustrujemy przykładem.

PKZYKLAD 3.2. Rozwiążemy równanie

(1)    y*-ycosx =sin2x,

u następnie znajdziemy rozwiązanie tego równania spełniające warunek początkowy y(0) = — 1

Najpierw rozwiązujemy równanie jednorodne

y* - ycosx =0.

czyli

(2)

d>

-p-=ycosx. dx

Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

(3)    y₀=Cc^ł*ⁿ'. CeR, x 6 R.

Następnie szukamy rozwiązania szczególnego równania (1) metodą uzmienmania stałej:

y_H = C(x)e”ⁿ'

Po zróżniczkowaniu i podstaw ieniu do równania 11) otrzymujemy

C*(x)e'^,n'=sin2x.

C'(x)= c sin2x.

Stąd

Zatem funkcja (4)

C(x) - 2(-sinx- l)e ^łW'

c

y_s =-2(1+sinx). xeR,

jest rozwiązaniem szczególnym równania (I).

Suma rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (2) i rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego (1). czyli y = y₀+>, jest rozwiązaniem ogólnym równania (I). Zatem, zgodnie z. (3) i (4), rozwiązanie ogólne równania (11 określa wzór