Matematyka 2 "3

222 IV. Równania różniczko** zwyczajne

- z twierdzenia Cauchy'cgo wynika bowiem, że przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (1).    ■

Równania różniczkowe wyższych rzędów

Równanie postaci

(1.3)    F(x,y,/.....y^HO,

gdzie F jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze AcR^r'*^:, y oznacza niewiadomą funkcję zmiennej x określoną na pewnym przedziale, a y\...,y^,BI - kolejne pochodne tej niewiadomej funkcji, przy czym y^ln' występuje w tym równaniu w sposób wyraźny, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.

Tak więc. rząd równania różniczkowego jest to najwyższy z rzędów pochodnych funkcji niewiadomej występujących w tym równaniu. Na przykład równania

y"-ye* = l, y"* + 2xy' = 0,    yy⁽⁵⁾ + y’ = 0

są równaniami różniczkowymi odpowiednio drugiego, trzeciego i piątego rzędu.

Jeżeli równanie (1.3) można rozwiązać względem pochodnej najwyższego rzędu, to równanie to można zapisać w tzw. postaci normalnej

(1.4)    y*^n, = f(x,y,y',.._My^<'*~^,>),

gdzie f jest funkcją ciągłą na pewnym obszarze DcR'¹’¹. Rozważania w tym rozdziale będą dotyczyły przede wszystkim równań w postaci normalnej.

Każdą funkcję y = y(x) n-krotnie różniczko walną na przedziale I taką, że (x,y(x),y'(x),..._ty^{<n ł,}(x))eD dlaxel oraz

A y^,nl(x)=f(x.y(x),y¹(x).....y‘—"(x))

* *1

nazywamy rozwiązaniem (całką) równania (1.4).

Rozwiązanie takie nazywamy również rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania, w odróżnieniu od rozwiązania ogólnego (całki ogólnej), które definiujemy niżej:

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania (1.4) nazywamy n-paramolrową rodzinę funkcji

y=y(x,c,.....ej

taką, że dla każdego układu stałych Cj¹.....C° z pewnego obszaru zawar

tego w Rⁿ funkcja

y=X*,cf.....cj)

jest rozwiązaniem równania (1.4) na pewnym przedziale.

Zadanie polegające na wyznaczeniu takiego rozwiązania y = y(x) równania (1.4), dla którego spełnione są tzw. warunki początkowe

y(*o)=y<>* /(*<>)=yi.....yir^,ł.

gdzie (x„.y₍„y_<'₎,...,y}"*¹’) € D. nazywamy zagadnieniem początkowym lub inaczej zagadnieniem Cauchy’ego.

Dla równania różniczkowego drugiego rzędu zagadnienie Cauchy‘ego oznacza wyznaczenie rozwiązania spełniającego warunki

y(x₀)=y₀. y'(x₀) = yó.

a geometrycznie - wyznaczenie krzywej całkowej przechodzącej przez dany punkt i mającej w tym punkcie styczną o podanym kierunku.

Zagadnienie brzegowe dla równania różniczkowego rzędu n jest to zadanie polegające na znalezieniu takiego rozwiązania, które w podanych punktach: x,,...,x_n przyjmuje zadane wartości: y,.....y„. tzn.

y(*i)=yi.....y(x„)=y_B.

Na przykład dla równania różniczkowego rzędu drugiego zagadnienie brzegowe polega na wyznaczeniu krzywej całkowej, która przechodzi przez dwa podane punkty.

PRZYKŁAD 1.5. Rozwiążemy równanie

(i)    y^m * 6.

a następnie znajdziemy rozwiązanie szczególne spełniające

a)    warunki brzegowe y(0)=l. y(2) = 5. y( —2)=—3,

b)    warunki początkowe y(l) = -l. y'(lj = 2, y"(l)s=4.