Matematyka 2 !9

218 IV. Równania różnicdconr zwyczajne

Rozwiązując równanie różniczkowe wyznaczamy z reguły rozwiązania globalne. Pamiętajmy jednak, że z definicji rozwiązania wynika, że każde zawężenie takiego rozwiązania jest także rozw iązaniem rozpatrywanego równania.

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania (1.2) nazywamy jednoparametrową rodzinę funkcji

y = y(x,C)

takich, że dla każdej dopuszczalnej wartości C₀ funkcja y = y(x,C₀) jest rozwiązaniem równania (1.2) na pewnym przedziale.

Dodajmy, że w pewnych przypadkach otrzymujemy rozwiązania równania różniczkowego w postaci uwikłanej - rozwiązanie szczególne y = y(x) może być określone równaniem p(x,y) = 0. a rozwiązanie ogólne - równaniem postaci d>(x.y,C) = 0.

Warto jeszcze zauważyć, źc rozwiązanie ogólne nie musi zawierać wszystkich rozwiązań równania, choć dla pewnych równań tak jest.

Zadanie polegające na wyznaczeniu rozwiązania y = y(x) równania różniczkowego (1.2) spełniającego tzw. warunek początkowy y(x₀) = y₀. gdzie (x₀.y_u)ćD_t nazywamy zagadnieniem początkowym lub inaczej zagadnieniem Cauchy'ego.

Geometrycznie zadanie to sprowadza się do znalezienia krzywej całkowej równania różniczkowego przechodzącej przez podany punkt płaszczyzny. Oczywiście może się zdarzyć, że przez dany punkt przechodzi więcej niż jedna krzywa całkowa danego równania i wtedy mówimy, źc zagadnienie Cauchy'ego nie ma jednoznacznego rozwiązania.

Rozwiązanie y = y(x), x el, równania różniczkowego nazywamy rozwiązaniem regularnym lego równania nu przedziale I, gdy przez żaden punkt krzywej całkowej wyznaczonej przez to rozwiązanie nie przechodzi inna krzywa całkowa tego równania.

Rozwiązanie y = y(x), x el, równania różniczkowego nazywamy rozwiązaniem osobliwym tego równania na przedziale I, gdy przez każdy punkt krzywej całkowej wyznaczonej przez to rozwiązanie przechodzi co najmniej jeszcze jedna, inna krzywa całkowa tego równania

Na przykład rozwiązania równania y' = 2x rozważanego w przykładzie l.l są rozwiązaniami regularnymi na przedziale I = (-00^00). Nietrudno bowiem sprawdzić. że przez dowolny punkt (x„.y„)eR^: przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania, a mianowicie - parabola y = x^: + C, gdzie C = y₀ - x£

W przykładzie 1.3 będziemy rozważać równanie, które ma rozwiązanie osobliwe.

PRZYKŁAD 1.3. Weźmy pod uwagę równanie

(1)    y₊3^ = 0. (x,y)eD=R\

Łatwo sprawdzić, że funkcja stała

(2)    y = 0, x el = (-oo.-i-ao), oraz funkcje postaci

(3)    y =(C-x)\ x el = (-oo,+oo), gdzie C jest dowolną stałą, są rozwiązaniami równania (1).

Każdą z krzywych całkowych określonych wzorem (3), a jest ich nieskończenie wiele, można otrzymać przez przesunięcie o wektor [C,0] krzywej y = -x³. Kilka tych krzywych przedstawia rysunek 1.2.

Rys 1.2.

Łatwo stwierdzić, że przez każdy ustalony punkt (x_o,0) krzywej całkowej y = 0 przechodzi również krzywa całkowa o równaniu