Matematyka 2 #9

238 IV Równaniu różniczkom zwyczajne

A mianowicie: wystarczy w powyższym równaniu zastąpić y' przez —l/y'. W ten sposób otrzymane równanie

F(x,y,-l//) = 0

jest równaniem różniczkowym trajektorii ortogonalnych.

PRZYKŁAD 2.8. Wyznaczymy trajektorie ortogonalne rodziny parabol o równaniach

(1)    y² = 2ax. gdzie a jest dowolnym, różnym od zera parametrem.

Najpierw napiszemy równanie różniczkowe tej rodziny krzywych. W tym celu różniczkujemy ( y traktujemy jako funkcję x ) obie strony równania (I) i otrzymujemy

(2)    2yy' = 2a,

a następnie z równań (1) i (2) rugujemy parametr a. W ten sposób otrzymujemy równanie y² = 2xyy', czyli

(3)    y^s=2xy'

(rozwiązanie y = 0 możemy pominąć, gdyż prosta ta nie należy do rozważanej rodziny krzywych). Jest to równanie różniczkowe danej rodziny krzywych. Zastępując w równaniu (3) y' przez - l/y* otrzymujemy równanie różniczkowe trajektorii ortogonalnych y = -2x/y', czyli

(4)

y'=~

2x

Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych, zatem metodę całkowania tego równania już znamy. Otrzymujemy kolejno:

J2ydy = - j4xdx.

y² = -2x² + C. C>0 2x²+y²=C, C>0.

a stąd

C>0.

_*L ₊ r ₌ |

C/2 C *

Traicktoriami ortogonalnymi rozważanej rodziny parabol są elipsy symetryczne względem obu osi układu, o ogniskach położonych na osi Oy i

osiach 2\/C i 2-JC/2, przy czym C oznacza dowolną stałą dodatnią. ■

RÓWNANIE JEDNORODNE względem x I y jest to równanie postaci

gdzie funkcja f(t) jest funkcją ciągłą swego argumentu na pewnym przedziale, a y = y(x) jest funkcją niewiadomą.

Na przykład równania

dx

dx

dx

i₌y₊₎, &=*<,+!„!). dy₌^±vl

....    - ^J“ -    “ ^J- xy są równaniami jednorodnymi względem x i y.

Równanie jednorodne sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych stosując podstawienie

czyli

(2.6)    y = tx,

gdzie t oznacza nową niewiadomą funkcję zmiennej x. Różniczkując obie strony (2.6) względem x, otrzymujemy

&=Ax+t dx dx •

Uwzględniając tę równość w (2.5) mamy

x +    f(»).

dt

dx

a następnie (27)

dt f(t)-t dx x *

Równanie to jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, w którym niewiadomą jest funkcja t zmiennej x.

Sposób znalezienia rozwiązania równania postaci (2.5) pokażemy ^w przykładach.