Matematyka 2 $1

240 IV Rówruitua różniczkowe zwyczajni-

(I)

PRZYKŁAD 2.9. Rozwiążemy równanie dy 2y-x dx ~ x *

przy warunku początkowym y( -1) = 2.

Jest to równanie jednorodne wzglądem x i y. gdyż może być zapisane w postaci

£=2i-l.

dx x

Stosujemy podstawienie y= tx. Wówczas

£«»♦*£. J

dx dx

l*o podstawieniu do równania (1) otrzymujemy

t + x~ = 2t-l, dx

czyli

(2)

dt _ t -1

d.\ x

Równanie (2) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych. Funkcja t = l dla xe(-ao,0) oraz dla x€(0,+«) jest rozwiązaniem tego równ Zakładamy, że t * 1 i szukamy pozostałych rozwiązań:

f dt rdx

Jt-l J x ’

ln|t-l|=ln|x|+lnĆ. Ć>0.

|t-l[=Clxk C> 0.

Dołączając do ostatniego wzoru rozwiązanie szczególne t = I, wszystkie rozw iązania równania (2) zapisujemy jednym wzorem

t=l + Cx, CeR. x*0.

Wzór ten określa rozwiązanie ogólne równania (2). Ponieważ y = tx. więc rozwiązanie ogólne równaniu (I) ma postać

(3) y = d + Cx)x,

gdzie C oznacza dowolną stałą, xe(-oo,0) lub x €(0.+®) Pozostaje znalezienie rozwiązania szczególnego, które spełnia warunek y(—1) — -

2 Równotue oimicnnwh rozdzielonych. Równunie jednorodne_24 1

poławiając x = -l i y=2 w (3) otrzymujemy C = 3. Zatem szukane ^Tu/łazanie szczególne jest określone wzorem

(4) y = (l + 3x)x, x < 0.

Zauważmy jeszcze, ze z twierdzenia 1.2 (C'auchy*ego) wynika, że pr/ez każdy punkt półpłaszczyzn

D₍ = l(x.y)eK^:: x<0). D₃ = |(x.y)eR^:: x>0| przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (I).

Czytelnikowi pozostawiamy naszkicowanie kilku krzywych całkowych równania (2) i (I), a także krzywej określonej wzorem (4). ■

PRZYKŁAD 2.10. Rozw iążemy równanie

, dy₌ 4y(x^y;2

¹} _X(3y^j+2x²)

Równanie to rozważamy w dwóch półplaszczyznach

D, = |(x,y)eR^; x<0|, D_J = l(x.y)eR³: x>0|.

przy czym z twierdzenia 1.2 (Cauch/ego) wynika, że przez każdy punkt tych obszarów przechodzi dokładnie jedna krzywa całkow a.

Równanie (1) można zapisać w postaci

3(^₊2

wiąc jest to równanie jednorodne względem x i y. Stosując podstawienie y - *x sprowadzamy równanie (1) do równania o zmiennych rozdzielonych:

(2) dt _ t"¹ + 2t

dx ~ x(3t² +2)

z nową niewiadomą funkcją t = t(x).

Funkcja t = 0 dla x €(-*>,0) oraz x €(U.-k») jest rozwiązaniem szczególnym równania (2). Zakładając następnie, że t*U rozdzielamy zmienne i całkujemy:

(3t^J + 2)dt