Matematyka 2 "5

224 IV Równania różniczkowe zwyczajne

Rozwiązanie ogólne wyznaczymy przez trzykrotne całkowanie. Z (I) otrzymujemy kolejno:

y" = 6x+C,, y* =3x²+C,x + C₃, y = x^ł + ~C,x³ + C,x+Cj.

Zatem rozwiązanie ogólne danego równania jest trój parametrową rodziną funkcji

(2)    y = x³ + ^C,x² + C₂x + C₃, xeR, C^Cj.CjCR.

a)    Uwzględniając warunki brzegowe w (2) otrzymujemy

I = C₃, 5 = 8 + 2C, + 2C₂ + C₃. -3 = -8 + 2C,-2C_i+C„

a stąd

C, = 0, C, = -2. C_} = I.

Tak więc. szukane rozwiązanie szczególne jest postaci

y = x’-2x + l, xeR.

b)    Dla rozwiązań określonych wzorem (2) mamy

y'=3x^:+C,x + C₂, y" = 6x+C,.

Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy

-1 = 1 +jc.+Cj+Cj, 2 = 3+C,+Cj. 4 = 6 + C|.

a stąd

C, = -2, C₂ = l. Cj = -2.

Zatem rozwiązanie szczególne spełniające podane warunki początkowe określone jest wzorem

y=x³-x² + x-2, xeR.    ■

W dalszy ciągu zapoznamy się z pewnymi efektywnymi metodami całkowania niektórych typów równań różniczkowych. Będą to metody. które prowadzą do napisania wzoru na rozw iązanie ogólne (czasem w postaci uwikłanej) danego równania różniczkowego. Niemniej, dla wielu równań takich metod całkowania nie znamy i wtedy musimy poprzestać na znalezieniu przyhliżonych rozwiązań tych równań. Zresztą, z punktu widzenia zastosowań praktycznych, na ogół wystarcza w zupełności. gdy możemy podać, z ustaloną dokładnością wartości przybliżone rozwiązania.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I Podać po trz> przykład) równań różniczkowych liii rzędu.

2. Sprawdzić, żc funkcja y ->i»\. x g(O.ti). jest rozwiązaniem równania y*-2yclgx-cosx.

3 Sprawdzić, żc funkcja > = 2c^v -c“ . xeR. jest rozwiązaniem równania y' = 2xy + 4xe'*'.

-4 Sprawdzić, żc funkcja > ~    x> I, Jest rozwiązaniem równa

nia xy'-My-x> -\-0 i wskazać, żc jest lo jedyne rozwiązanie lego równania spełniające warunck y(e) = I + e.

Sprawdzić, żc funkcja y = —, x>0, jest rozwiązaniem równania

x

i .    - ■*

XV + XV

v* +    =0 i wykazać, że jest to jedyne rozwiązanie lego

l + y-

równania spełniające warunek y(l)= I

6 Sprawdzić, że funkcja y-\v‘4-x‘. xc(0.2). jest rozwiązaniem

N^:-X^J

rów nania y' - — — — i wykazać, że jest to jedyne rozw iązanie lego

równaniu spełniające w arunek y(l) = >/J

7.    Znaleźć rozwiązanie ogólne i naszkicować kilka krzywych całkowych równania:

a)v' = 2x-l. b)y' = 3x^:.    c)y’=e\ d) y' = 2cos2x.

^L-,' x+r    «***-£’

8.    Znaleźć rozwiązanie równania spełniające podany warunek początkowy i naszkicować odpowiednią krzywą całkową;

a) v* = 2x + I, y(-l) -2 .

b) y' = 3x^:, y(0)=-l.