Matematyka 2 '3

272 IV. Równaniu różniczkowa zwyczajne

PRZYKŁAD 5.3. Rozwiążemy równanie

(1)    y" + ^--4x² -0.

Jest to równanie postaci (5.2) - nie zawiera niewiadomej funkcji y (krótko: równanie " bez y "). Stosujemy podstawienie y* = u(x). Wówczas y" = u'. Po podstawieniu otrzymujemy równanie

(2)

_u'+il = 4x². x

Jest to równanie liniowe I rzędu z niewiadomą funkcją u = u(x). Rozwiązanie ogólne równania (2) (wyznaczamy je metodą uzniienniania stałej) określone jest wzorem

C, 6 R

u = x³ +•

Ponieważ u = y'. pozostaje scaikować równanie

, C x +~^L

X

Stąd otrzymujemy rozwiązanie ogólne rów nania (I) w postaci

y = jx⁴+C, ln|x|+C₂, gdzie C, i C₂ oznaczają dowolne stałe.

RÓWNANIE POSTACI F(y,y\y^M) = 0. W równaniu po

staci

(5-3)

F(y,y\y")=o.

w którym niewnadomą jest funkcja y=y(x), nic występuje w sposób wyraźny zmienna x. Równunic to sprowadzamy do równania I rzędu stosując podstaw ienie

y*⁵⁵ u(y).

Wówczas y" ⁼ ^    ^{= u}    wykonaniu tego podstawienia w rów

naniu (5.3) otrzymujemy równanie 1 rzędu

F(y.u,ug) = 0, w którym mewiudomąjest funkcja u = u(y).

PRZYKŁAD 5.4 Rozwiążemy równanie

(y')²

(0    ^y"⁼7qF’

w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x).

Jest to równanie typu (5.3) - nie zawiera zmiennej x (krótko- równanie ^M bez x "). Stosujemy podstawienie

y' = u(y).

Wówczas y" = u^. W konsekwencji otrzymujemy równanie I rzędu o zmiennych rozdzielonych

u^ = -^ dy y-1

Rozwiązanie ogólne tego ównania ma postać

u = C,(y-1), C, eR, y*l-Ponieważ u = y‘. więc

y = C,(y-1). y*l,

a następnie

(2)    y = I + Cje^c,\ C,eR, C eR\(0).

Jest to rozwiązanie ogólne równania (I).

Wyznaczymy teraz rozwiązanie równania (I), które spełnia warunki początkowe: y(0) = 2, y'(0) = - I. Zgodnie z (2) mamy

y = I + C.e^c’*. y’ = C_;C,e^C|>, a następnie podstawiając x = 0, y=2, y'=-1, otrzymujemy 2= l + C,,    -1 = C,C,.

Stąd Cj = — I i Cj = l. Zatem szukane rozwiązanie określone jest wzorem y = 1 + e *, x e R.

Na koniec znajdziemy rozwiązanie równania (1) spełniające warunki brzegowe: y(0) = U. y(l)=l-e.

Uwzględniając te warunki we wzorze (2) mamy 0 = l + C₂, l-e = l+C₂e^C|.