Matematyka 2 )1

290 IV Równania różniczko** zwyczajne

C. Jeżeli A<0, to równanie charakterystyczne (6.12) ma pier wiastki zespolone sprzężone: r,=a + ip, r, =a-ip. gdzie a = -^a_lt

f3 = ~ -J-A * 0. Okazuje się w-ówczas, że rozwiązaniami szczególn równania (6.11 )są funkcje

y,(x) = e^tŁ'cospx, y₂(x) = e^UAsinPx.

Obliczamy

y](x) = e^UA(aeosPx -psinpx),

_y|'(_x) = e^u*((a² - p² )cospx - 2apsin px) i podstawiamy do równania (6.11). Po uporządkowaniu mamy (a^: -p^: +a,a-t-a₂ )cospx-(2ap + a,p)sinpx=:0.

7.C

yi

Uwzględniając* ze u = -^-a,, p=^/4a,-a; stwierdzamy łatwo,

równość zachodzi dla każdego x € R. Analogicznie wykazuje się, że jest rozwiązaniem równania (6.11).

Rozwiązania y,(x) i y_:(x) są liniowo niezależne, gdyż

W(x)

c“*cosPx    e^a'sinPx

c“*(acosPx -Psinpx) e^<u(asinpx + pcospx)

= Pc‘“ * 0

dla każdego x € R.

Zgodnie z twierdzeniem 6.3

y = e^aA(C|Cospx + C₂sinpx), xeR. C,,C₂ eR,

jest rozwiązaniem ogólnym równania (6.11).

Uwaga Jeżeli równanie charakterystyczne ma pierwiastki zespolone r = a r i(J. to funkcje zespolone

V,(X) = c^ło ’• ^u « c^a' (co*Px - i*«n px).

Y₂(x)- c^{n-*^)% = c" (cos0x - i sin [).x)

są rozwiązaniami równania (6.11). Ponieważ jednak rozważamy lu równania różniczkowe o współczynnikach rzeczywistych, oczekujemy rozwiązań (uleżę rzeczywistych. W ogólnej retłHi równań liniowych łatwo wykazuje się, żc jeżeli funkcja zcs|>olona zmiennej rzeczywistej

Y(x)»U(*)+iV(x).

.tJzk U(x) = KcY(x). V(x) = ImY(x), Jest rozwiązaniem równania liniowego jedno-^jdncgo o współczynnikach rzeczywistych, to funkcje U(x) oraz V(x) są również rozwiązaniami tego równaniu.

Korzystając z tego twierdzenia otrzymujemy w tym przypadku. Ze y,(x)-c°*cos{3x oraz y₂(x)= e^Q* sinpx są rozwiązaniami równania (6.11)

PRZYKŁAD 6.7. Znajdziemy rozwiązania ogólne równali:

a) y" +4y = o,    b) y"-2y' + 10y = 0.

a)    Równanie charakterystyczne r² 4-4=0 ma pierwiastki zespolone r, = 2i, r₂ = -2i (a=0. p = 2). Rozwiązanie ogólne danego równania różniczkowego określone jest wzorem

y = C,eos2x-t-C₂sin2x. xeR, C,,Cj€R

b)    Równanie charakterystyczne

r² -2r+10 = 0

ma pierwiastki zespolone r, = 1 + 3i. r₂ = I - 3i (a = 1. P = 3). Rozwiązanie ogólne rozważanego równania różniczkowego ma postać

y = e*(C,cos3x + C₂sin3x),    xeR, C_ltC₂ER.    ■

Wyniki naszych rozważań w punktach A. B i C można zapisać w

tabeli:

Pierw. równ. charakter (6 12)	Rozw. ogólne równania (6.11 >
A>0, r„r2	y = C,e^ł'* + C2e^r,ł
A = 0, r0	y = C,e^,'* + C,xe^,’‘
A<0, r = a±ip	y = e^u* (C, cos|ix + C2 sin Px)

Równanie liniowe niejednorodne o stałych

WSPÓŁCZYNNIKACH. Równanie liniowe (6.1), w którym p,(x) = a, =const, p₂(x) = a, = const. przyjmuje postać

(6.13)    y" + a,y' + a₂y = q(x)