Matematyka 2 9

258 IV. Równania różniczkowe ;*-)vzajne

. a) y'-2y = 0, y(0)=3.    b) y' + y=0, y(-!)=-2e,

^{c) y}'⁼^I- ^y‘^e)=-'’    ^d)y'⁺7b7⁼⁰-    *^c)=2-

^e> y'⁺-r⁵T=°- y(0)=-l,    Oy’=-^-y.    y(D=2.

l + x    x -3x

5.    Stosując metodą uzmicnmania stałej rozwiązać równanie:

a)y^{, +} y = ^T.    b) y'-^ = e *, c)y'--^_r = 2x,

X    x    l + X*

d) y’ + 2xy = 2x\    e)y'--^ = lnx_t 0 Y + 2y = 5sinx,

X

g) y'-y = 2e‘cos²x, h)xV-2xy = 3, i) y' + ytgx = sin2x.

6.    Stosując metodą przewidywania znaleźć jedno z rozwiązań równania

a) y'-y = 2 + 2x-x³,    b)    y'+y=2e'^J\    c)y' + 2y = c²\

d)y'-2y=xc‘,    e)y' + y=2e *.    f) y*4-y = 4xe‘\

g) y'-3y = (2x + l)e^u. h) y'-2y = 5sinx, i) y*-y+2xsinx = 0,

j) y' + y = 3sinx + cosx,    k) y' + 2y=6-4sin2x,

1) y' + 2y = e^-2*-5sinx,    ł) y' + y=x² + 2sinx.

7.    Stosując metodą przewidywania rozwiązać równanie:

a)y' + y = x²,    b)    y'-2y = 3e‘\    c) y' + y=(l + 2x)e^ł,

d) y'-y-2xe*=0.    e)    y'-3y = 2e^J\    0 y*-y = 2cosx_t

g) y’-2y-(4x-l)c^:ł,    h) y*-y = cos2x + 2sin2x,

i) y' + y = 2x-c'\    j) y' + y=smx + x(sinx + cosx),

k)    y' + 2y = 2x²-l + 4cos2x, ł) y'= y+4e*+cosx-sinx.

8.    Rozwiązać równanie:

a)y' + y = 2cosx.    b) y'-^ = -4-,    C) y'--^- = 2sinx,

x ln x    tgx

d) y'-2y = (3x + 2)e"\ e)y' = 2xy + c*" cosx, 0y'-y = -5sin2x ,

j) y'+y

i

, k) y' = —t=-I ,

I) y'-y=

•J9 + x

V3 + c* ’    ' ' 2Vx

9. Rozwiązać równanie przy podanym warunku początkowym: a) y'+-^=x, y(0)=-l. b) y'-2y=^^, y(0) = 0.

2 + e

e

»mx

c) y' + 2y = 5sinx, y(0) = 3. d) y'-ytgx = e“^ft\ y(0)=l,

^c) y’⁺T^7⁼i^7- y<^e>^=el> n    t.x-o=-«.

xlnx lnx    l + x x

g) y' = —+ e\ y(0) = 2.    h) y’-ycosx = sin2x, y(n)=-l,

l + e

0 y^ł+y= ,    ₂-. y(0)=-i. j) y'-7---T-=⁰' ^7)=°.

(1+e )    x In x c

k) y' = y+x + 2cosx. y(0)=l, I) y'-2y = e²* +5cosx, y(0)=-2,

2x

10.    Znaleźć rozwiązanie y = y(x) równania xy*-y =—— spełniające

In x

warunek y(e)=0, a nastanie obliczyć limy(x) i lim y(x).

x-*l«    »-*-w

11.    Podać przykład równania Bemoulliego, dla którego jednym z rozwiązań jest funkcja stała y=0 dla xeR.

12.    Rozw iązać równanie:

a)/ + y=xy^J, b) y'+-^-=(x^; -X)/, ^C)y' ⁺ ^ ⁼ ^T*

d)    y^{, =} y+^--:*_t» ^c) y’⁺ 2y = 4_v/ysinx,0 y' + -^ = 2y²lnx.

2ye    ^x