Matematyka 2 (1

280 IV. Równania ruźniczkuwe zwyczajne

zeru, dla których C,e"‘+C₂e^2x = 0 dla każdego xeR, prowadzi do wniosku, źc funkcja y = e^3ł lub y=e'^)x jest stała, co jest nieprawdą.

Z podanej wyżej definicji liniowej niezależności łatwo wynika, że funkcje są liniowo niezależne na przedziale , gdy ich iloraz nie jest funkcją stałą na tym przedziale.

Zatem funkcje y,(x) = sinx i y_:(x) = e‘ są liniowo niezależne na zbiorze R, gdyż

const.

yi(x) _ sinx y₂(x) e'

Dla rozwiąziin rówmania liniowego jednorodnego (6.2) wykazuje

się, że:

Rozwiązania szczególne yj(x) i y₂(x) równania (6.2) na przedziale (a,b) są funkcjami liniowo niezależnymi na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy

W(x) =

y₍(*) y₂(*)

yl(x) y₂(x) dla każdego x e (a, b).

Wyznacznik W(x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego lub krócej: wrońskianem funkcji y, i y>.

TWIERDZENIE 6.3. Jeżeli y, i y₂ są dwoma liniowo niezależnymi na przedziale (a,b) rozwiązaniami szczególnymi równania liniowego jednorodnego (6.2) oraz C, i C, są dowolnymi stałymi, to

(6.4)    y = C_ly,(x) + C₂y₂(x)_ł xe(a,b).

jest rozwiązaniem ogólnym równania (6.2), przy czym zawiera ono wszystkie rozwiązania tego równania.

Dowód. Z twierdzenia 6.2 wynika, że funkcja postaci (6.4) jest rozwiązaniem równania (6.2) dla dowolnych C, i C\. Wystarczy wykazać. że dla dowolnej trójki liczb (x₀,y₀,y(,), gdzie x_rt e(a,b), można tak dobrać stałe C, iC_:, by wzór (6.4) określał rozwiązanie szczególne y = y(x) spełniające warunki y(x₀) =y_ń i y'(x₀) = yó •

Wśród rozwiązań (6.4) znajduje się takie, które spełnia warunki y(x₀)=yo » y'(^xo)=yó Wtedy i tylko wtedy, gdy Stale C, iC₂ spełniają następujący układ równań:

(6.5)

fC,y,(x₀)+C₂y₂(x₀)=y_0t

|C_lyi(x₀) + C₂y'(x_ll)=y^

Jest to układ liniowy względem niewiadomych C, i C₂. którego wyznacznik główmy jest równy

W(x„).

y.(*o) y₂(*o) y|(*o) y₂<^xo)

Z liniowej niezależności rozwiązań y, i y, na przedziale (a,b) wynika, ż.e W(x)*0 dlu x E(a,b) Zatem W(x_o)*0. Na podstawie twierdzenia Cramcra dla układów liniowych wnioskujemy więc. źc układ (6.5) ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono określone wzorami:

(6.6) C,

1

W(x₀)

y» y₂(*o) yl y₂(*₀)

c> =

i

W(x₀)

yi(x₀) y₀ y;<*₉> yó

Tak w-ięc, funkcja określona wzorem (6.4) ze stałymi (6.6) jest rozwiązaniem szczególnym równania (6.2), spełniającym warunki y(x*)*= y₀ i y‘(^xo) = yó .co kończy dowód.    L)

PRZYKŁAD 6.1. Łatwo sprawdzić, żcy,(x)=l, y₃(x)= e²* , x e R. są rozwiązaniami szczególnymi równania

(I)    y"-2y‘=0.

Są to rozwiązania liniowe niezależne, gdyż wronskian tych funkcji

l e

0 2c^:‘

2e*‘*0 dla x eR

.2x

W(X):

Zatem zgodnie z twierdzeniem 6.3

y-C₁+C_łe^ł\

gdzie C,,C_; są dowolnymi stałymi, jest rozwiązaniem ogólnymi równania (I).    ■