str214

4. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE RZĘDU DRUGIEGO 214 8 2. KLASY

(0

Zadanie 2.6. Wyznaczyć ogólne rozwiązanie równania

d²u d²u ,8²u 6x² + 1 du , dii -2x ——8x² —-----—12x² — = 0.

dx

dxdy dy

dx

dy

Rozwiązanie. Sprowadzamy najpierw równanie (1) do postaci kanonicznej. Obliczamy zatem 5 dla określenia typu danego równania

<5 = B² - 4 AC = 4x² + 32x² = 36x².

Równanie dane jest typu hiperbolicznego, zatem postępujemy jak w zadaniu 2.1. Równaniem różniczkowym charakterystyk danego równania (1) jest związek

(2)

\dx)    dx

Rozwiązaniami równania są następujące rodziny funkcji:

2x²H-y = C_x,

-y — C₂.

Przechodzimy do współrzędnych £ i >/, przy czym (3)    £ = 2 x²+y,    r] = x²—y.

Ze wzorów (2.7) obliczamy współczynniki występujące w równaniu kanonicznym

A\ = Ci = 0,

B, = 2- 4x2x —2x(—4x + 2x) —2- 8x²(—1) = 36x²,

6x² + 1

«i =4-

-• 4x — 12x² = — 36x²,

6x² + 1    ,

hi =2--2x + 12x² = 0.

Równanie kanoniczne ma następującą postać:

d²u du

(4)

dłjdrj dć,

--2 = 0.

Dla znalezienia ogólnego rozwiązania równania (4) całkujemy obie jego strony względem zmiennej £ i stąd mamy

Su

(5)

gdzie <p(ri) jest dowolną funkcją całkowalną. Równanie (5) rozwiązujemy metodą uzmien-nienia stałej stosowaną do rozwiązywania równań różniczkowych liniowych zwyczajnych rzędu pierwszego. Rozwiązaniem ogólnym uproszczonej postaci:

du

Sn

— u = 0,

równania (5) jest funkcja

(6)

Obecnie uzmienniamy A(£) w ażeby wyrażenie

(7)

spełniało równanie (5). Po zrc nania (5) otrzymujemy nastę

8A

Sn '

skąd po scałkowaniu mamy

(8)

gdzie B i F są dowolnymi fun zależności (8) we wzorze (7)

które możemy również zapis

(9)

gdzie G(n) jest dowolną fun Ogólne rozwiązanie równi związków określonych wzór;

u(x,

Zadanie 2.7. Wyznaczyć d²u

M    a?'

spełniające warunki

(2)    u{x

gdzie    (p (x)    i    ip(x)    są    danymi

Rozwiązanie. Dane rów

y

są równaniami charakterysty chodząc do zmiennych £ i i

(3)    e