img468 (3)

3.2 Ekstrema lokalne funkcji

Przyjrzyjmy się teraz wykresom funkcji:

Zacznijmy od wykresu pierwszej funkcji. Interesuje nas zachowanie się tej funkcji w pobliżu argumentu x₀ = 3.W lewostronnym dostatecznie małym otoczeniu tego punktu funkcja jest rosnąca, zatem jeżeli x < x₀, to /(x) < /(x₀) dla każdego x z tego otoczenia. Natomiast w prawostronnym dostatecznie małym otoczeniu punktu x₀ funkcja jest malejąca, zatem jeżeli x₀ < x, to /(x₀) > /(x) dla każdego x z tego otoczenia. Z obu tych nierówności wynika, że istnieje takie otoczenie U{x₀) punktu x₀, że /(x) < /(x₀) dla każdego x e U(x₀).

Na drugim wykresie są dwa punkty o tej własności: x₀ = ^ i x₀' = Jeśli U(x₀)

jest (dostatecznie małym) otoczeniem tego punktu, to dla każdego x e U(xo) również/(x) </(x₀).

Zwróćmy uwagę na to, że otoczenie U(x₀) musi być dostatecznie matę. Jeśli w przypadku drugiej z rozważanych funkcji wzięlibyśmy U

bytoby prawdą, że /(x) < /

f \ n

v?,

7t

v2y

= (- 2tc, 3tt), to nie

dla każdego x e U

, ponieważ np. /(-n) > / -

Jak zatem określić to, co dzieje się z każdą funkcją w rozważanych punktach? Mówimy, że funkcja osiąga tam maksimum lokalne. Słowo „lokalne” przypomina nam o tym, że rozważamy zachowanie się funkcji w pewnym, dostatecznie małym otoczeniu punktu x₀.

DEFINICJA 1.

Niech funkcja / będzie określona w przedziale otwartym (a, b). Funkcja / ma w punkcie x₀ € (o, b) maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie otoczenie U[x₀) (zawarte w tym przedziale) tego punktu, że:

A /(x) </(x₀).

xe(J(x₀)

Jeśli A /(x) < /(x₀), gdzie S(x₀) jest pewnym sąsiedztwem punktu x₀, za-

xeS(xo)

wartym w przedziale (a, b), to funkcja / ma w punkcie x₀ maksimum lokalne właściwe.

Różnicę pomiędzy maksimum lokalnym funkcji a maksimum lokalnym właściwym ilustruje poniższy rysunek:

Funkcja, której wykres jest tu przedstawiony, ma maksimum lokalne właściwe w punkcie x₀ = 1, natomiast każdy punkt x₀' e <4, 5) jest punktem, w którym funkcja ta ma maksimum lokalne, które nie jest właściwe.