img017 (49)

22

22

j=i+1

(2.28)

dla i = n- 1, n - 2, ■ ■ ■, 1. Kolejność wypisanych wartości indeksu i we wzorze (2.28) mówi o kolejności wyznaczania współrzędnych wektora rozwiązania.

W celu rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi metodą eliminacji Gaussa należy wykonać

«³    2 w

— + n--

3    3

działań mnożenia i dzielenia oraz

działań dodawania i odejmowania.

Wybór elementu podstawowego

Jak zauważono, w etapie eliminacji w przód występuje w każdym kolejnym kroku k, dla k = 1,2, •••,;?- 1, dzielenie przez element diagonalny afj. Ostatnie równanie zostaje ponadto podzielone stronami przez a\") (rozważa się tu układ równań (2.27) jako wynik pierwszego etapu realizacji algorytmu). Może mieć miejsce przypadek, gdy afj = 0 dla pewnego k=l, 2,    1. W tym przypadku wykonanie algorytmu zostałoby zatrzymane

w kroku k.

Przykład 2.1

Nawet rozwiązanie tak prostego układu równań jak

(2.29)

*2=1}

*1 ⁺ *2 ⁼ 2J

z wykorzystaniem algorytmu Gaussa wymaga przekształcenia tego układu równań np. do postaci

x, +x₂ *2

(2.30)

Okazuje się, że przy numerycznej realizacji algorytmu eliminacji Gaussa jest bardzo istotne, aby otrzymywane elementy afo), k = 1, 2, •••, n - 1, nie tylko były różne od zera (warunek realizacji etapu eliminacji w przód), ale by nie były zbyt małe co do wartości bezwzględnej [6, 7, 8, 19],

Wykazano, że dla większości występujących w obliczeniach układów równań uzasadnione jest przyjęcie za element podstawowy w kroku k tego elementu kolumny o numerze k, który ma największą wartość bezwzględną spośród elementów tej kolumny położonych w wierszach o numerach od k do n. Uzupełnienie aleorvtmu eliminacji Gaussa wvhnrem m