img467 (3)

Tj TWIERDZENIE 2.

Jeżeli funkcja / jest różniczkowalna w przedziale otwartym (o, b) i rosnąca w tym przedziale, to dla każdego x e (a, b) prawdziwa jest nierówność f'(x) > O.

Dowód.

Weźmy dowolne x₀ e (a, b). Jeżeli h > O, to x₀ + h > x₀. Ponieważ funkcja jest rosnąca, więc

f(*o + ^h) > f(xo).

skąd

/(x₀ + b) -/(x₀)

h    ^u’

Jeżeli natomiast h < O, mamy:

x₀ + /i<x₀ i f(x₀ + h) </(x₀),

skąd również

/(*o + h) ~ /(*o) ^ _n h    ^u

Dlatego też dla h * O zawsze

/(*o + h) - /(*o) > _n h    ^u'

Zatem

lim ⁺    o.

b->0    h

skąd wynika teza twierdzenia.

W podobny sposób można otrzymać kolejny wniosek.

IMjS WNIOSEK

— Jeżeli funkcja / jest różniczkowalna w przedziale otwartym (o, b) oraz dla każdego x e (a, b) mamy /'(x) < 0, to funkcja / jest malejąca w przedziale (a, b).

Prawdziwe jest też twierdzenie

Jeżeli funkcja / jest różniczkowalna w przedziale otwartym (o, b) i malejąca w tym przedziale, to dla każdego x e (o, b) prawdziwa jest nierówność/'(x) < 0.

PRZYSIAD 2.

Wyznaczmy przedziały monotoniczności funkcji:

b )/(*)

a)/(x) = x³(4 - 3x); 'r² - 3x

x² - 4

Ad a) Dt = R. Wyznaczmy pochodną:

x³(4 - 3x)

4x³ - 3x⁴

' = 12x² - 1 2x³ = 12x²(1 -x), czyli

/'(*) = 12x²(1 -x)

Widzimy, że Df = Df. Teraz rozwiązujemy nierówności: f'(x) > 0 «• (1 2x²(1 - x) > 0 a x g Df) <=>

o (x g (—co, 0) u (0, 1) a x e Df) <=> x g (—co, 0) u (0, 1).

/'(x) < 0 <=> x g (1, +oo).

Oznacza to, że funkcja / jest rosnąca w każdym z przedziałów (-oo, 0) oraz (0, 1), natomiast jest malejąca w przedziale (1, +oo).

Uwaga:

Jeśli funkcja jest rosnąca w dwóch przedziałach, to nie wynika z tego, że jest rosnąca w sumie tych przedziałów (mówiliśmy o tym już w klasie pierwszej). W ostatnim przykładzie zapisaliśmy, że pochodna funkcji / jest większa od zera w sumie przedziałów. Natomiast wynikający stąd wniosek: funkcja / jest rosnąca w każdym z przedziałów (nie w sumie przedziałów!).

Ad b) D_f = (-oo, -2) u (-2, 2) u (2, +»). Mamy

3x² - 8x + 12    . _w 3x²-8x+ 12

-, więc / (x)- -    _/y2_.'₂—

3x

(x² - 4)²    ’ ^r ' ^v '    (x² - 4)^;

Widzimy, że Df = Df . Ponieważ mianownik pochodnej jest dodatni (w dziedzinie pochodnej), więc:

/'(x) > 0 <=> (3x² -8x+12>0AxeD^)o(xe/?Axe Df) <ox g Df.

Tak więc funkcja / jest rosnąca w każdym z przedziałów: (-oo, -2), (-2, 2) oraz (2, +oo).