MATEMATYKA026

b) Mianownik lej funkcji rozkładamy na czynniki:

x⁴-x³ +3x² = x²(x^:-x + 3). Czynnikowi x^? odpowiadać będą w

rozkładzie dwa ułamki proste I typu o mianownikach x i x\ a

czynnikowi (x²-x + 3) - ułamek prosty II typu o mianowniku

(x² - x + 3). Zatem przewidujemy rozkład

.    2x4-3 A B Cx + D

R(x) = —:—_;-- = — + — + —-.

x²(x -x + 3) x X*¹ x²-x + 3

Współczynniki A, B, C i D wyznaczymy z równości

2x4-3 s Ax(x² -x + 3) + B(x² -x + 3) + (Cx4 D)x².

Ponieważ dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są one tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy' odpowiednich potęgach zmiennej, więc porównujemy współczynniki po obu stronach i otrzymujemy;

x³: 0=A+C, x²: 0 = -A 4- B-t-D, x': 2 = 3A-B, x°: 3 = 3B.

Stąd A = 1, B = 1, C = -1, D = 0. Zatem

2x4-3    1 J___x_

x⁴-xV3x²‘x⁺x² x² — x 4- 3

W powyższych przykładach zaprezentowane zostały dwa sposoby wyznaczania współczynników rozkładu funkcji wymiernej na ułamki

prosie. Czasem wygodnie jest stosować obie tc metody jednocześnie.

Niżej podajemy przykłady rozkładu funkcji wymiernych na ułamki proste z pominięciem rachunków prowadzących do wyznaczenia współczynników tego rozkładu:

’__2__A_ B C

(x-l)²(x + 2)“ x-1 ⁺ (_x-1)^{j +}x + 2^f x³ -1    _ A Bx + C

(x + 2)(x² +5) x + 2 ⁺ x² + 5 ’

2 + x    A B Cx + D Ex + F

(x-3)²(4 + x²)²    x-3 ^ł (x-3)^{2 +} 4 + x^{2 +} (4 + x²)²

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1.    Podać przykłady funkcji:

a) f:R—»R,    b)f:R³-*R,    c)f:R²->R²

d) f:N-»R,    e) f: C ->R,    f)f:N->N.

2.    Wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej wzorem:

a) y = log(x²-x-2) + -^=—, b)    +

°) y =    +iogi(H*-i|). ^d) y = Vi-x^J +V-sinx,

e) y = log,x+^-^,    0 y = x-log,(|x²-x|~2)_f

g) y = 2arctg-7i^X— ,    h) y = aresm—.

vl - x    ^{x +} ^

3.    Naszkicować wykres funkcji określonej wzorem:

a) y = 3sinx,    b) y = log(2-x),    c) y = 2^X-3,

d) y =|5 + x|,    c) y =|3x + x^!|,    0 y =|tgx|.