MATEMATYKA029

50 I. b tarfomoAct wstifjiiie

Zauważmy, że |z,-z₂| oznacza również długość odcinka łączącego punkty z, i z₂ płaszczyzny zespolonej Metryka ta nazywa się metryką naturalną zbioru liczb zespolonych.    ■

W ustalonym zbiorze X można określić metrykę na różne sposoby, co ilustruje następujący przykład

PRZYKŁAD 4 2

a) Weźmy pod uwagę zbiór par liczb rzeczywistych, czyli zbiór R x R oraz funkcję

/’(Pi.P3)=l*.-*łl+lyi-y2l.

gdzie p, = (x,,y₁), p₂ = (x₂,y₂) są dowolnymi elementami tego zbioru. Łatwo wykazuje się, że funkcjapspełnia warunki (I) - (3) metryki Zatem zbiór R x R z metryką p jest przestrzenią metryczną. Geometryczną interpretację tej metryki pozostawiamy Czytelnikowi.

b) Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór i niech

/ „8^dy p. =p₂

li, gdy p, * _Pj .

Tak określona funkcja p spełnia warunki (1) - (3), zatem zbiór X z metryką p jest przestrzenią metryczną. Przykład ten oznacza, że każdy niepusty zbiór można *zmet ryzować”.    ■

OTOCZENIE i SĄSIEDZTWO PUNKTU. Niech X będzie przestrzenią metryczną z metry ką p . Otoczeniem punktu p₀ € X nazywamy zbiór

U(p₀,e)=(peX;p(p,p₀)<e}

gdzie 6 jest dowolną liczbą dodatnią, przy czym E nazywamy promieniem lego otoczenia.

W przestrzeni R¹ mamy więc:

U(x₀,e)= {x eR: |x-x₀|<e} = (x₀-e,x₀+ e) i jest to zgodne z wcześniej przyjętym określeniem otoczenia punktu w zbiorze R.

W dwuwymiarowej przestrzeni cuklidesowcj R^: otoczenie U(p₀,e) punktu Po = (x₀,y₀) jest wnętrzem koła o środku w p₀ i promieniu e:    _

U(x₀,e)= {p = (x,y)eR²: J(x-x₀? +(y-y₀)² <e} =

= ((x,y)eR^: (x-x₀)^J +(y-y₀)^! <e^!}.

Analogicznie otrzymujemy, że otoczenie U(p₀,e) w przęślrzem R' jest wnętrzem kuli o środku w p₀ i promieniu £.

W zbiorze liczb zespolonych C otrzymujemy U(z₀,e) = {z€C: |z-z₀|<e),

co oznacza, że otoczenie U(z₀,s) jest wnętrzem koła o środku w punkcie Z₀ i promieniu £ .

Sąsiedztwo punktu p„eXopromieniu c jest to zbiór:

S(p₀,e) = U(p₀,e)- {p₃) = {p eX 0 <p (p,p₀) < e}

W przypadku gdy promień otoczenia lub sąsiedztwa nic jest istotny, będziemy używać krótszego oznaczenia: U(p₀) lub S(p₀).

Zbieżność ciągu w przestrzeni metrycznej

Niech (p_n) będzie dowolnym nieskończonym ciągiem elementów przestrzeni metrycznej X z metryką p i niech p₀ będzie również elementem tej przestrzeni.

Mówimy, że ciąg (p_n) jest zbieżny i ma granicę p₀ , co

zapisujemy

lim p_n = Po lub P_n -> P„. gdy ciąg (p( p_n, p₀)) ma granicę równą zeru, czyli (4.1)    (lim _Pn = p₀) O (lim p (p„, p_(ł) = 0).

n »ii>    n-*«

Ciąg, który nic jest zbieżny nazywamy rozbieżnym Zauważmy, żc symbol lim po prawej stronic (4.1) dotyczy ciągu o wyrazach rzeczyw istych, a ze szkoły średniej wiemy, że

(limp(p„,p₀) = O) <3. A V A p(p„,p₀)<e.

!)-»«    SM) K n>K