NEUFERT4 podst wym,propor

Kwarta 3/4

Oktawa 1/2    Tercja 4/5

Prostokąt pitagorejski obejmuje

O wszystkie proporcje interwałowe, z wyłączeniem dysharmonicz-nych, tzn. sekundy i septymy

©

Trójkąt pitagorejski

a	a	b	c	1_	m	X	Y
36° 87'	3	4	5	53° 13'	1	1	2
22° 62'	5	12	13	67° 38'	1	2	3
16° 26'	7	24	25	73°74’	1	3	4
28° 07'	8	15	17	61°93’	0,5	3	5
12° 68'	9	40	41	77° 32'	1	4	5
18° 92'	12	35	37	71°08’	0,5	5	7
43°60'	20	21	29	46° 40'	0,5	3	7
31°89’	28	45	53	58° 11'	0,5	5	9

Zależności liczbowe wynikające z równań pitagorejskich (wybór)

©

Trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny

©

Cięciwa = r

Przybliżony dziewięciokąt

Nakreślić z punktu A łuk promie-niem AB; otrzymujemy punkt D Q0) oraz odcinek c, na prostej AC. Nakreślić z punktu C łuk promieniem CM = a do przecięcia z tukiem BD w punkcie E. Odcinek DE = d odpowiada 1/9 obwodu koła

Pięciokąt foremny i złoty podział

©

(8) Piętnastokąt BC = - - - = — ^/    5    3    15

I-M-1-m-1

PROPORCJE

ZASADY QP

Koordynacja wymiarowa w budownictwie istnieje od bardzo dawna. Ważne konkretne informacje pochodzą już z czasów pitagorejskich. Pitagoras wychodził z założenia, że proporcje liczbowe ujmujące prawa akustyki muszą być harmonijne również optycznie. Z tego założenia został wyprowadzony prostokąt pitagorejski -> ©. który zawiera wszystkie harmoniczne proporcje interwałów, z wyłączeniem obydwu interwałów dysharmonicznych - sekundy i septymy.

Na tych proporcjach liczbowych powinny bazować zasady wymiarowania pomieszczeń. Z pitagorejskich, czyli diofantycz-nych równań wywodzą się grupy liczb (2) (3) 0, które powinny być stosowane dla szerokości, wysokości i długości pomieszczeń. Wspomniane grupy liczb mogą być wyznaczone w oparciu o wzór a² + b² = c²:

a = m ( y² - x²) b = m • 2 • x • y c = m ( y² + x² )

gdzie: x, y - wszystkie liczby całkowite (x mniejsze od y),

m - współczynnik zmniejszający bądź zwiększający.

Fundamentalne znaczenie mają też figury geometryczne wymieniane przez Platona i Witruwiusza: koło, trójkąt -> (5) i kwadrat 0 , z których można wyprowadzać ciągi wielokątów. Kolejne dzielenie daje w wyniku kolejne wielokąty. Inne wielokąty (np. 7-kąt -» ®, 9-kąt -> ©) mogą być wyznaczane tylko w przybliżeniu lub przez superpozycję. W ten sposób, przez nałożenie trójkąta równobocznego na pięciokąt, można skonstruować 15-kąt ©

Pięciokąt -> 0 , czyli pentagram, podobnie jak wyprowadzony z niego dziesięciokąt, ma naturalny związek ze złotym podziałem -> str. 37 ©i®. ale jego szczególne proporcje nie znalazły wcześniej zastosowania.

Konstruowanie wielokątów jest przydatne w projektowaniu i wznoszeniu budowli centralnych. Znaczenie wymiarów: promienia r, cięciwy s oraz wysokości trójkąta h ilustrują -> ©i © —> str. 35, 36.

Przybliżony siedmiokąt foremny

©Prosta BC dzieli na pół odcinek AM w punkcie D. BD jest w przybliżeniu równy 1/7 obwodu koła

h = r•cosp | - r sinp

S ■ 2 • r • sinp h-f-ctgp

©Obliczenie wymiarów w ciągu poligonowym str. 37

(U) ->@Wzór

34