Obraz
5 (141)

w samej definicji iloczynu). Widzą teraz wyraźnie, jakie operacje trzeba wykonać, aby wyznaczyć n!

d) Wprowadzono w klasie trzynastoletnich uczennic liczby wymierne i jako punkt wyjścia do definicji sumy rozważano różne sytuacje konkretne, ilustrowane wektorami na prostej liczbowej. Uczennice dodają już poprawnie dwie liczby wymierne, ale definicji jeszcze nie sformułowano. Nauczycielka pyta: Co to jest suma, dwóch liczb wymiernych? Uczennice nie radzą sobie z odpowiedzią. Jedna proponuje: „Ja mogę powiedzieć, jak obliczam sumę dwóch liczb wymiernych; biorąc te dwie liczby; patrzę, czy mają jednakowe znaki; jeżeli są te same znaki, to moduły tych liczb dodaję i daję ten sam znak, jeżeli znaki nie są te same, to moduły odejmuję i daję znak większego modułu, a jak są moduły równe, to piszę 0. Ta liczba, co mi z tego wyjdzie, to jest suma”.

Nauczycielka mówi: „a więc sumą dwóch liczb wymiernych nazwiemy liczbę, którą wyznaczamy w sposób następujący ... dokończcie”. Uczennice formułują definicję „czynnościową”. W dalszym ciągu nauczycielka dąży do otrzymania innej postaci definicji przechodząc od operacji do rezultatu: „sumą dwóch liczb jednakowego znaku nazywamy liczbę tego samego znaku, której moduł jest sumą modułów tych liczb...”. Operacje, które stanowiły podstawę wypowiedzenia tej definicji występują tu już w sposób mniej wyraźny, nie „osobisty”. Uczennice uważają tę wypowiedź za trudniejszą, ale ją akceptują. Na odwrót, uczeń, któremu na podstawie tej tylko definicji, bez uprzedniego wprowadzenia poglądowego, polecilibyśmy dodać dwie liczby wymierne, musiałby odbyć drogę w przeciwnym kierunku; musiałby ujawnić i ostatecznie uświadomić sobie te same czynności, które w danej sytuacji na lekcji były punktem wyjścia do definicji.

Operatywny charakter myślenia matematycznego ujawnia się w matematycznym języku ucznia w każdej sytuacji. Na przykład: obserwujemy ucznia poszukującego dowodu twierdzenia geometrycznego. Uczeń „myśli głośno”, mówiąc: ,.tu prowadzę odcinek; utworzyłem trójkąt, ale to mi nic nie daje; spróbuję połączyć te dwa punkty; znowu mam trójkąt”. Rozwiązując równanie, mówi: „przenoszę 2x z prawej strony równania na lewą; redukuję; dzielę przez 5; otrzymuję 7; podstawiam i sprawdzam, czy lewa strona równa się prawej”.

Uczeń cały czas - czy poszukując aktywnie rozwiązania drogą prób i błędów czy stosując gotowy schemat rozwiązania, wykonuje świadomie

pewne czynności: potrafi je nazwać, potrafi je uszeregować.

1.3. Dowiadując się, że wzór „(a + bf=a² + 2ab + b² jest w ramach pewnej teorii prawdziwy, możemy to twierdzenie rozumieć rozmaicie. Jeżeli wzór traktujemy czysto formalnie jako zbiór znaków, to gdybyśmy nie wiedzieli, co marny z tym zespołem znaków czynić, nie przedstawiałby on dla nas żadnej wartości. W najbardziej nawet sformalizowanym ujęciu tak jednak nie jest; jeżeli temu zespołowi znaków nie towarzyszy żadna interpretacja semantyczna, to znamy reguły przekształcania takich zapisów. Wiemy np., że ilekroć wystąpi znak (a + b)², to możemy go zastąpić znakiem a² + 2ab + b². Jeżeli uznaliśmy (a + bf=a² + 2ab + b² za tezę teorii, to możemy uznać też za tezę teorii a² +2ab+b² = (a + bf.

W sformalizowanym ujęciu cytowany zapis wiąże się z naszymi potencjalnymi czynnościami. Ma on dla nas sens tylko wtedy, gdy wiemy, co mamy z nim robić.

Uwzględniając semantyczny sens zapisu na przykład w arytmetyce, możemy go interpretować statycznie lub operatywnie. W pierwszym przypadku stwierdzamy tylko, nie analizując wzoru, że znaki (a + b)² i a² + 2ab-1- b² oznaczają tę samą liczbę. W drugim odczytujemy z zapisu przede wszystkim dwa różne ciągi operacji (działań); uświadamiamy sobie: jeżeli dodamy do liczby a liczbę b i tę sumę podniesiemy do kwadratu, to otrzymamy liczbę, którą moglibyśmy otrzymać też inaczej: a mianowicie podnosząc a do kwadratu, mnożąc a przez b i otrzymany iloczyn mnożąc przez 2, podnosząc b do kwadratu i dodając tak obliczone składniki. Teraz zapis wskazuje nam dwa ciągi czynności i informuje, że niezależnie od tego, który z tych ciągów czynności zastosujemy do liczb a, b, otrzymamy ten sam rezultat.,

Najczęściej nasze rozumienie wzoru (a+ bf - a²+ 2ab+b² zawiera wszystkie wyżej wymienione elementy.

Jeżeli jednak uczeń nie rozumie go przede wszystkim w znaczeniu trzecim, nie umie z tego wzoru korzystać.

1.4. Pojęcia, twierdzenia, rozumowania matematyczne mają charakter jawnie operatywny, operatywny charakter ma w dużej mierze także język matematyki, jej słownik. Myślenie matematyczne nie jest bierną kontemplacją danej nam a priori sytuacji: jest bardzo wyraźną aktywnością, wyko-

217