P3200145

218 4- Anahza skupień

a dla dużych p, jak to zwykle bywa w praktyce, oczekiwana wartość d jest bliska

41

Tę samą przeciętną miarę obliczoną dla zmiennych standaryzowanych R.B. Cattell przekształcił w pewną formę współczynnika korelacji. Współczynnik ten, zwany współczynnikiem Cattella (ang. coejfficient ojpattem similarity), ma postać'²²

(4.10)

C _ ²*ĆU> - pdl 2_Xl_Mp) + pdl

gdzie xiti.pt jest medianą w rozkładzie chi-kwadrat dla p stopni swobody.

Zależność między d_n a r‘ jest liniowa, stąd obie miary dają klasyfikacje niemal identyczne.

Między wartościami metryk bezwzględnych a wartościami metryk uśrednionych zachodzi proporcjonalność, z uwagi na stały dzielnik, odpowiednio p oraz

i

Niejednokrotnie warto się posługiwać odległościami opartymi na metrykach znormalizowanych, które otrzymuje się, stosując względną transformację do odległości bezwzględnych (zob. Ludwig i Reynolds, 1988). Dwie takie miary to:

• Względna odległość euklidesowa (ang. relative euclidian distance)

(4.11)

której wartości wahają się w przedziale od 0 do V2.

• Względna odległość absolutna (ang. relative absolute distance)

d

n

?    P

(4.12)

która z kolei przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 2.

Pewnym innym sposobem ominięcia wpływu wartości zmiennej X na porru^ar odległości jest użycie przeciętnej kwadratowej różnicy standaryzowanej

(4.13)

-- Współczynniki korelacji (dowolnej postaci) są miarami podobieństwa. Zobacz punkt 4.3.2 gdzieś, jest odchyleniem standardowym cechy X_t (;= 1,2,....p)

Przeciętna kwadratowa różnica standaryzowana jest niczym innym jak prze ciętną odległością euklidesową dla cech standaryzowanych.

Szczególnymi przypadkami metryki potęgowej (4.3j są dwie następujące me tryki:

• Metryka dominacji lub odległość Czebyszewa (jeżeli

d_n = maxta - x I    (4.14)

• Metryka minimum

d_n

min

(4.15)

choć nie wydaje się, aby miały one jakieś większe praktyczne znaczenie

Metryczne miary odległości oraz ich uśrednienia mogą byt obliczane iakz< dla cech alternatywnych, jakkolwiek rezerw uje się dla takich zmiennych inne nieco miary (zob. punkt 4.3.3).

W miarę potrzeby można się też posługiwać miarami zróżnicowania, które me spełniają postulatów' stawianych odległościom metrycznym, a zwłaszcza postu latu nierówności trójkąta, nie są zatem metrykami przestrzeni, lecz co najwyżej semimetrykami. Opierają się one na takich funkcjach wartości a . i a lak rozmea. bezwzględna różnica, iloraz, iloraz różnicy i sumy, różnica kwadratów cz\ rozmea pierwiastków modułów. Pomimo, że miary odległości oparte na tych funkcjach są subiektywne, a ich znaczenie jest ograniczone do pewnych szczególnych zasto sowań, wymienimy parę z nich.

• Metryka Canberra (ang. Canberra metric)^2?

r I * - JT J

d = 2 --- dla a*. >0    (4.16)

(**+*,)

która jest pewmą odmianą metryki miejskiej Przyjmuje ona w artości z przedziału 0<d_n<p, gdyż ilorazy (|.v_); - v |) /(.v_i; + x_B) < l Metryka Canberra cechuje się dużą wrażliwością na mak zmiany wartości a. i a- bliskie zeru (Gordon, 1999). Konstrukcja metryki nie umożliw ia jej stosowania do zmiennych zerojedynkowych. Występuje ona również w wersji uśrednionej (dzielenie przez p) i wówczas przyjmuje wartości z przedziału od 0 do 1.

w opracowaniach statystycznych spotkamy się bardzo często z wersją metryki Canberra ze Cienionym nieco mianownikiem. d_r - l -.Yj/(i.vJ+|A'J)]. jeśli nie nakłada się ograniczenia