S6300964

<0>

X

Otrzymaliśmy różne wartości, więc granica lim 2^CtgX _nie istnieie

®-*1T    **    *

^,r*ni

h) Niech Zatem

oraz x_n = \j 1 H--dla n 6 N. Wtedy lim _;

**    n—•« ‘

lim sgn l(a-ń)²— 1 = lim sgn n—*oo    L^V / J n—♦ oo

Podobnie

lim sgn I (x'ń) ~ — 1 = lim sgn

n—*oo    L^v '    J    n—»oo

i - - 1 -i n

lim sgn

(4)-

nS \

litn

A)

3

i

V

1 +

- 1

= lim sgn

(n) n^lss, 1.

Otrzymaliśmy różne wartości, więc granica lim sgn (x² — l) nie istnieje.

X —► 1

• Przykład 2.5

Zbadać, obliczając granice jednostronne, czy istnieją podane granice funkcji-,

b) lim e ^x ;

a) lim

x + 1

i x — 1 ’

x—>0

c) lim x \xj;

x—»0

e) lim

\^x + 2|'

—2 2 + 2;

d) lim ^{Sgn (1} - "²⁾

x-*i sgn (rc³ — 1) ’

f) lim ( x — arc tg

X ~ TT

Rozwiązanie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby funkcja miała granicę właściwą (niewłaściwą) w punkcie jest istnienie i równość jej granic jednostronnych. Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji.

a) Dla granicy lewostronnej i prawostronnej mamy odpowiednio

x + 1

B i    _n-

X—1- X — 1    0

—oo,

X + 1

lim

x — l+ x — 1    0+

Ponieważ granice jednostronne są różne, więc badana granica nie istnieje.

b)    Dla granicy lewostronnej i prawostronnej mamy odpowiednio

_ i __L    _i __i

lim e — e = e = e = oo, lim e =e = e = 0.

x~*0~    x—*0+

Ponieważ granice jednostronne funkcji są różne, więc badana granica nie istnieje.

c)    Dla granicy lewostronnej mamy

lim x (zj ===== lim (x(-l)) = - lim x = 0.

x—*0~    x—0~

Dla granicy prawostronnej mamy

lim x |*J    Hm (x • 0) = lim 0 = 0.