strona0184

360 VII Macierze. Wyznaczniki. Układy równań liniowych

2. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁAD n RÓWNAŃ O n NIEWIADOMYCH. Układ n

równań liniowych o niewiadomych x,,x₂,...,x_n zapisujemy w poslaci

a,,xi	+	^aI2^x2	+ ...	+	^aln^xn	* ^cl>
^a2|X|	+	^a22^x2	+ ...	+	^a2n^xn	= C2>
^anl^xl	+	^an2^x2	+ ...	+	^ann^xn	= c„.

Rozwiązaniem lego układu równań jest układ n liczb (x,,x₂,...,x_n) spełniających równania (2 1).

Przyj mi	my oznaczenia: ^all ••• ^aln		V		V
A =	^an1 ••• ^ann	, x=	^xn	. c =	^Cn

det A = W =

^all ••• ^aln ^anl ••• ^ann

Wyznacznik W = det A nazywamy wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (2.1). Przy przyjętych wyżej oznaczeniach rozważany układ można zapisać w postaci macierzowej:

AX = C.

TWIERDZENIE 2.1 (Cramera) Jeżeli wyznacznik główny układu

(2.1)    jest różny od zera, W*0, to układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest ono określone wzorami

W, W₂ • w_n

(2.2)    X| ⁼ yy . ^X2 '    *’*' ^,Xn ~ w ’

gdzie W_k, k = l,...,n, oznacza wyznacznik otrzymany z wyznacznika W przez zastąpienie k-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych C,,...,C_n> Wzory (2.2) nazywane są wzorami Cramera

Dowód. Przypuśćmy, że (x,,x₂,...,x_n) jest rozwiązaniem układu (2.1). Zatem zachodzi równość:

AX = C

Ponieważ dctA=W*0, więc istnieje macierz A ¹ odwrotna do macierzy A Pomnóżmy lewostronnie obie strony tego równania macierzowego przez A ’. Wówczas

a stąd Zatem

A"'(AX) = A'^lC, (A ’A)X=A 'C, IX-A~'C, X = A ’C.

L^XnJ

^X1

L^xnj

W' w

i

w w

1

W

WV

_OD.

W

	V
	•
	_V

^(c,w;₁₊c₂w;_l+...«_nw_i;i)

i(c,w;_n+c₂w₂-_n+...₊cX_n)

Zgodnie z własnością (7) wyznaczników* ostatnią równość możemy zapisać w postaci

V		W^w>
J	II	W^w"
_^xn.

W,    W,

v « zi —-*■    — ——U

* W ’ ⁿ w

skąd otrzymujemy

Pozostaje sprawdzić, że liczby x,,Xj.....x_n określone powyższymi

wzorami spełniają układ (2.1). Ponieważ sprawdzenie to jest dosyć kłopotliwe rachunkowo, a przebiega analogicznie dla każdego z równań, pokażemy je tylko dla pierwszego równania: